基本思想:把一个n维空间的几何问题, 转换到n+1维空间 中去解决。即用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n 个分量的向量。
进一步分析知，平移变换是对常数项的变换，而比例 和旋转则是对x和y项的变换。
二维几何变换的齐次坐标表示
如果我们既要对常数项进行变换，也要对x和y项进行变 换，我们进行如何的处理呢？
观察如下的表达式：
x'
y
'
a1 b1
a2 b2
a3 x
b3
y
c'
c1
c2
c3 c
则有：x’=a1x+ a2y+ a3c
y’=b1x+ b2y+ b3c c’=c1x+ c2y+ c3c
二维几何变换的齐次坐标表示
如果我们令：
a1=1,a2=0,a3=Tx b1=0,b2=1,b3=Ty
c1=0,c2=0,c3=1，c=1 则有：x’=x+ Tx
x' x
y
'
y
x shy
从而沿y方向关于x轴的错切
的变换矩阵为：
1 0 0
SH
x
(shy
)
shy
1
0
0 0 1
7.2.4 二维几何变换的一般形式
设图形上一点的坐标为P(x,y)，经过二维几何变换后的坐标为 P’(x’, y’)，变换矩阵一般可写为：
1 0 0
R FO
0
1
0
0 0 1
错切变换
这种变换可使物体产生变形，即物体产生扭转或称为错 切。常用的两种错切变换是沿x向或沿y向错切变换。 •沿x方向关于y轴的错切 •沿y方向关于x轴的错切
沿x方向关于y轴的错切
在下图中，对矩形ABCD沿x轴方向进行错切变换，得到
矩形A’B’CD。错切的角度为θ，令shx=tanθ假定点(x, y)经 错切变换后变为（x’, y’），由下图可知：
x
y
shx
从而沿x方向关于y轴的错切
的变换矩阵为：
1 shx 0 SH y (shx ) 0 1 0
0 0 1
沿y方向关于x轴的错切
在下图中，对矩形ABCD沿y轴方向进行错切变换，得到
矩形AB’C’D。错切的角度为θ，令shy=tanθ，假定点(x, y) 经错切变换后变为（x’, y’），由下图可知:
Lecture 7
几何变换
概述
在计算机图形学中，通常需要将画出的图形平移到某一 位置，或改变图形的大小和形状，或利用已有图形生成 复杂图形，这种图形处理的过程就是图形的几何变换， 简称图形变换。
二维图形和三维图形都可以进行图形变换。图形变换通 常采用矩阵的方法，图形所做的变换不同其变换矩阵也 不同。变换的实质是对由图形上各点的坐标组成的矩阵 进行运算，因此在讨论各种具体图形几何变换时，可以 归结为一个点的变换。
(x,y)表达为(hx,hy,h),当h=1时称为规格化齐次坐标。
二维几何变换的齐次坐标表示
使用规格化齐次坐标，我们可以表示另外两种变换：
比例变换的矩阵形式 ： x ' Sx 0 0 x
y
'
0
Sy
0
y
1 0 0 1 1
缩写为 ：P'S(Sx，Sy)P
旋转变换的矩阵形式 ： x' cos -sin 0x y' sin cos 0y 1 0 0 11
y
'
'
T
Tx
T
y
可以用矩阵相加来表示P点的位移
x '
y
'
x
y
Tx Ty
计为： P'PT
7.1.2 比例变换
用来改变一物体大小的变换称为比例变换（缩放变换） 。如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点 的坐标（x，y）均乘以比例因子Sx、Sy，以产生变换后的 坐标（x’，y’）
缩写为 ： P'R()P
7.2.3 其他变换
反射变换 ：反射是用来产生物体的镜象的一种变换。物 体的镜象一般是相对于一对称轴生成的 。 •关于x轴对称变换 •关于y轴对称变换 •关于坐标原点的对称变换
关于x轴对称变换
关于x轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中
，Sx=1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为：
7.1 二维基本变换
二维基本变换包括： •平移 •比例 •旋转
7.1.1 平移变换
平移是一物体从一个位置到另一位置所作的直线移动。 如果要把一个位于的点移到新位置时，只要在原坐标上 加上平移距离Tx及Ty即可
平移变换
表示成数学形式： x x Tx
y
y
Ty
表示成向量形式：
P
x
y
P
'
x
1 0 0
RFx
0
1
0
0 0 1
关于y轴对称变换
关于y轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中 ，Sx=-1，Sy=1，如图所示，其变换矩阵为：
1 0 0
RFy
0
1
0
0 0 1
关于坐标原点的对称变换
关于y轴对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中， Sx=-1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为：
比例变换
表示成数学形式： x S x x
y
Sy
y
如果令
S
Sx
0
0
S
y
则比例变换可以表示成以下的矩阵形式：
x' y'
Sx
0
0 x
Sy
y
记为： P'SP
7.1.3 旋转变换
物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变 换。我们可用旋转角表示旋转量的大小。
一个点由位置（x、y）旋转到（x′y′）如下图所示，θ为 旋转角 。
P'RP
x' xcosysin y' ycosxsin
7.2 二维几何变换的齐次坐标表示
可以看出，平移变换的处理方法与其他两种变换的形 式不一样，但我们希望能够用一种一致的或同类的方法 来处理这三种变换，使得这三种基本变换能很容易地结 合在一起，形成各种复杂的组合变换。为了解决这个问 题，引入齐次坐标这一概念。
旋转变换
由图可得到如下三角关系式：
x'rcos()rcoscosrsinsin xcosysin
y'rsin()rcossinrsincos xsinycos
则相对于坐标原点的旋转变换公式如下：
x' xcosysin y' ycosxsin
旋转变换
如果令
R
cos sin
sin
cos
则有 记为
x' cos sinx y'sin cosy
y’=y+ Ty 1=1
上两式正好是坐标的平移变换。
二维几何变换的齐次坐标表示
使用这种表示方法，坐标的平移变换可以表示为：
x ' 1 0 Tx x
y
'
0
1
T
y
y
1 0 0 1 1
平移变换的矩阵形式缩写： P'T(Tx, Ty)P
这样，我们就把矩阵的加法运算转化为矩阵的乘法运算 ，我们使用的这种表达坐标的方法就叫齐次坐标表示。