A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2a D．ac<0
【例2】、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()
A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0
【例3】、如图所示的二次函数 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有( )A．2个B．3个C．4个D．1个
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点;② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
【例1】、如图为抛物线 的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是()
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0， ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当 >0时，图像与x轴有两个交点；
当 =0时，图像与x轴有一个交点；
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x= ，
顶点坐标是（ ， ）；
（3）在对称轴的左侧，即当x≤ 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x≥ 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”
【例1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
当 <0时，图像与x轴没有交点。
【例1】、抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.
【例2】、二次函数 有( )A． 最大值 B．最小值 C．最大值 D． 最小值
【例3】、由二次函数 ，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1D．当 时，y随x的增大而增大
【例4】、已知函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
通常先将一般式转化成顶点式 ，再遵循左加右减，上加下减的的原则
化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。
② 沿 轴平移：向上（下）平移 （m＞0）个单位， 变成 （或 ）
③当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式
2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中， 、 两点的坐标分别为 ，
， 中点 的坐标为 ．由 ，得 ，
同理 ，所以 的中点坐标为 ．
3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。
4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】、已知函数y=x2-2x-3，
（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；
（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：
（3）根据第（1）题的图象草图，说出x取哪些值时，①y=0；②y<0；③y>0
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般 两根 三顶点
（1）一般一般式：
（2）两根当抛物线 与x轴有交点时，即对应的一元二次方程 有实根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数 可转化为两根式 。如果没有交点，则不能这样表示。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使⊿BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
【练习】
1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )
浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果 ，特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
【例4】、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为 ，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4
【例5】、如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x= ，
顶点坐标是（ ， ）；
（3）在对称轴的左侧，即当x≤ 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x≥ 时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x= 时，y有最大值，
2、二次函数 中， 的含义：
表示开口方向： >0时，抛物线开口向上
知识点六、抛物线 中，a、b、c的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.口诀---左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧）
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为______________
【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为______________
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【例2】、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，则当x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 时， ，当 时， ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 时， ，当 时， 。
【例1】、已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1,有最大值0
C．有最小值－1,有最大值3D．有最小值－1,无最大值
【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每
：向左（右）平移 （m＞0）个单位， 变成 （或 ）
【例1】、将抛物线 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( )