第一部分 定积分的概念
问题一 曲边梯形的面积
如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段， 我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形 称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例如：求由抛物线2
y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

★求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．第二步：近似代替。

第三步：求和．第四步：取极限。

（说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值） 问题二 汽车行驶的路程
汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()2
2v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）
是多少？
问题三 定积分的概念 ： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间
[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：()()i n
i n i i f n
a
b x f ξξ∑
∑==-=∆•1
1
当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：
()b
a
f x dx ⎰
即
()b
a
f x dx ⎰
=()i n
i n f n
a
b ξ∑
=∞
→-1
lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：
1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =
⎰
；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
☆定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

那么定积分
()b
a
f x dx ⎰
表示由直
线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

☆定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b
a
-=⎰1
性质2 ⎰⎰=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰ （定积分的线性性质）
性质4
()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：1212[()()()]()()()b
b
b
b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰
⎰⎰⎰L L
②推广:
12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰
⎰⎰⎰L
微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰
-==b
a
b a a F b F x F dx x f )()(|)()(
三．典例分析
例1.利用定积分定义，证明
a b dx b
a
-=⎰
1，其中a,b 均为常数且a<b.
例2 用定积分表示阴影部分的面积（不要求计算） 例3．（1）计算定积分2
1
(1)x dx +⎰
（2）2
2
(1)x dx -+⎰
四．练习
1、由y=sinx, x=0,x=2
π
,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2、计算下列定积分 (1)
⎰
2
3
dx x (2)dx x ⎰
--2
2
2
4 (3)⎰⎰-+-2
1
10
)1()1(dx x dx x
3．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n
n P p
p p p n 表示成定积分 （ ）
A ．dx x ⎰1
01 B ．dx x p ⎰10 C ．dx x p ⎰10)1( D ．dx n
x p
⎰10)(
4．将和式)21
.........2111(lim n
n n n +++++∞→表示为定积分 ．
5．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积____________
6．
dx e e
x x
⎰-+1
)(=______________
7.若1
x m e dx =
⎰
，1
1
e
n dx x
=⎰
，则m 与n 的大小关系是_________ 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r
m m k
F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．
9．由曲线2
1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果，其中正确的是____________ ①
1
21
(1)x dx --⎰
；②121
(1)x dx --⎰；③120
2(1)x dx -⎰；④0
21
2(1)x dx --⎰．
10.0
(sin cos sin )x
y t t t dt =
+⎰
，则y 的最大值是__________
11. 若()f x 是一次函数，且
1
()5f x dx =⎰
，1
17
()6xf x dx =
⎰，那么21()f x dx x
⎰的值是 ．
12.计算 ⎰202
sin π
dx x dx d
dx x x ⎰-π03sin sin dx x x ⎰-π03cos cos ⎰-20|cos sin |π
dx x x
13
综合题：1
1
2
52
2
2
(1)(2)ln(1)(3)(cos )2
x dx x dx
x x x dx x x -+---⎰
⎰⎰
2
22230
22
2
(4)(5)(6)tan [sin 2ln((32)
e dx x x x dx x x π
π-+++-⎰
⎰
2
(7)⎰。