5.1.1 5.1.2 5.1.3
现在求解这个定解问题。在球坐标系 (r , , ) 2 中，Laplace方程 u(r, , ) 0 的表达式是
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
方程（5.1.7）叫做关联Legendre方程。在 m 0 时，它就退化为Legendre方程 (5.1.12) (1 x2 )( x) 2x( x) l (l 1)( x) 0,
（注意这里未知函数用 表示）这种退化， 有着真实的物理含义，它是物理问题具有
轴对称的反应。所谓轴对称问题即场量 u 与角度 无关，只是 r和 的函数。那么， 这会在什么情况下发生呢？重新考虑定解 问题（5.1.1）~（5.1.3）。非齐次边界 条件（5.1.2）是引起场量 u 发生变化的 唯一根源，如果这个非齐次函数不是角变量 的函数，则问题就具有轴对称性，我们 讨论的问题符合这个条件。
要确定其中的未知常数，需要进一步了解 Legendre多项式的性质，将在下一节中讨论。
当 m 0时，关联Legendre方程（5.1.7c) 的解也可用Legendre多项式表示。事实上， 对方程（5.1.7c）作变换
( x) (1 x )
2 m/ 2
Y ( x)
(5.1.17)
则函数 Y 满足方程
方程（5.1.6）是Euler方程，做变换 或直接用Maple求解得
r e
t
>dsolve(r^2*diff(R(r),r$2)+2*r* diff(R(r),r)-l*(l+1)*R(r)=0);
R( r )_C1 r _C2 r
l
( l1 )
_ C1和 _ C 2 是两个积分常数。或用 A , B 其中 l l 表示任意常数，将通解写成 l 1 l （5.1.10） R r Al r Bl r
P l ( x) 2l l ! dxl ( x2 1)l
2 l ( x 1) 按二项式 证明：将式（5.2.10）中的
定理展开，可得
k l/2 1 dl 2 ( 1) (2l 2k ) (l 2k 1) l 2 k l ( x 1) x l l l 2 l ! dx 2 k !(l k )! k 0 l/2 (2l 2k )! k l 2 k (1) l x 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
例1 在本来匀强的静电场 E 0 中，放置一个 导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样 改变了匀强电磁场。 对比“大地与带电云的电场中导线”的例题， 这里是三维静电场问题，球外电势满足 Laplace方程，在距球无穷远处，电场保持 为原来的 E 0以球心为原点取球坐标系， 则定解问题是
2u 0 r a , u r E0 z E0 r cos , u r a 0.
可得
2
sin 2 d 2 dR sin d d 2 r sin m R dr dr d d
其中 m 是分离常数。由此可得两个微分方程 2 m 0 （5.1.5） 和 2
1 d 2 dR 1 d d m r sin 2 0 R dr dr sin d d sin
un r , An r n Bn r n1 Pn cos



n 0,1, 2,
（5.1.15）
将这些解叠加起来，得到级数解为
u r , An r n Bn r n1 Pn cos .
n 0


（5.1.16）
在我们讨论的问题中，自然条件（5.1.13） 是必需的。因为这里（即球坐标系下Laplace x cos , x 1对应 0和 方程的分离变量法中） 我们当然要求物理量 u 在各个方向上都有 有限值。
综上，定解问题(5.1.1)----(5.1.3)在具有 轴对称性质（即 u与 无关）的假设下， 具有如下所示的一般解称本征解
f
( n)
n! ( x) 2 i
(5.1.6a)
以及
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
(5.1.7a)
对方程（5.1.7a）作变换
x cos 可得
即
2 (5.1.7b) d d m 2 0 (1 x ) l (l 1) 2 dx dx 1 x
用分离变量法求解，设 代入到方程中，得
u (r , , ) R(r )( )( )
将关于 的变量和关于 r , 的变量分离 r 2 sin 2 为此，用 遍乘上式，并适当移项，
R
d 2 dR R d d R d 2 0 r 2 sin 2 2 2 2 r dr dr r sin d d r sin d
Rodrigues公式由此得证。 利用Rodrigues公（5.2.10），可方便地 给出低阶的几个Legendre多项式的显式
P0 1 P 1 x cos 3x 2 1 3cos 2 1 P2 ( x) 2 23 3 5 x 3x 5cos 3cos P3 ( x) 2 2 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 5 3 P5 ( x) (63x 70 x 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128
对上面第二个方程，再将变量
r , 分离开来
1 d d m2 1 d 2 dR sin 2 r l (l 1) sin d d sin R dr dr
其中 l (l 1) 是第二次分离变量引入的常数， 它可以用一个实数 表示，为了讨论方便
d Pn ( x) x Pn ( x) (1 x ) (m 0,1, 2, m dx
mm 2 2m Nhomakorabea, n)
（ 5.1.19）
一般解 u (r , , ) 应该是按本征函数序列的 叠加，并且是二重求和，求和指标为 n, m 首先本征解是
unm (r , , ) [ Ar n Br ( n1) ] [Cm cos m Dm sin m ]Pn m (cos )
利用Maple画出它们的图形如下
>plot({LegendreP(0,x),LegendreP(1,x),Leg endreP(2,x),LegendreP(3,x),LegendreP(4,x) ,LegendreP(5,x)},x=-1..1);
l
由图可见， P l (1) 1; P l ( x) 的奇偶性由l 奇偶性来决定。
在第三章中，我们已经求出了Legendre方 程(5.1.12)的通解，并且指出，Legendre方 程(5.1.12)加上自然条件 （5.1.13） 构成本征值问题，其本征值和本征函数依 次是
l n
1 ,
n 0,1, 2, ;
x Pn x .
而一般解就是
u (r , , ) unm (r , , )
n 0 m 0 n
§5.2 Legendre 多项式的性质 1、Legendre多项式的微分表示 我们已知，当 l为偶数时 Legendre多项式 l/2 是： (2l 2k )! k l 2 k
Pl ( x) (1)
2 m 2 (1 x )( x) 2 x( x) l (l 1) ( x) 0 (5.1.7c) 2 1 x
至此球坐标系下的Laplace方程（5.1.4） 分离变量的结果是得到三个常微分方程 （5.1.5）、(5.1.6)和(5.1.7). 方程 (5.1.5)加上周期性条件 (5.1.8) (0) (2 ) 构成本征值问题，解之得到 ( ) Am cos m Bm sin m, m 0,1, 2, .
令 l (l 1) [可以证明任意一个实数 都可表为 l (l 1) ，其中 l 为另一任意实数 或复数]。由此再得两个常微分方程 即 r R(r ) 2rR(r ) l (l 1) R(r) 0 (5.1.6b)
2
d 2 dR r l (l 1) R 0 dr dr
5.1 Legendre方程和Legendre多项 式的引出
在这一章中，我们讨论另一个重要的特殊函 数----Legendre多项式。首先将通过在球坐标 系中对Laplace方程分离变量，引入在第三章 中曾讨论过的Legendre方程，及其解 Legendre函数。并深入讨论Legendre方程在 区间 1,1 上有界解构成的另一类正交函数 系----Legendre多项式。 首先我们从一个实际例子出发，引出 Legendre方程。
n
的
(2n)! (2n)! n P2n ( x) P2n ( x); P2n (0) (1) n 2 (1) . 2 (2 n!) [(2n)!!]
P P2n1 (0) 0. 2n1 ( x) P 2n1 ( x);
2 Legendre多项式的积分表示 i. 施列夫利（Schlufli）积分 根据复变函数的Cauchy积分公式
k 0
当
l为奇数时，有
Pl ( x)
( l 1) / 2
x 2 k !(l k )!(l 2k )!
l

k 0