第五章 习题答案5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。
突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。
解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。
()l x u a u xx tt ≤≤=-002ρYa =2初始条件：()()l x x ldx U ≤≤=00,()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动）5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。
解： ()00,=x U在ε≥-c x 处 ()00,=x U t在ε<-c x 处 由动量定理有： []ερερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t =⇒-⋅=即：()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=εερεc x Ic x x U t 200,5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。
试写出边界条件。
（横截面积S ，杨氏模量Y ）。
解：()0,0=t U220),(tU S S t l P F ∂∂⋅⋅=⋅--ρεε当0→ε时有YSF t l U xU Y S F x lx 00),(=⇒∂∂⋅⋅==5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力tuhF ∂∂-=，试写出其运动方程。
解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下：x 轴方向：()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+，即弦上张力不变。
y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d tux g x x F t x T t x x T ∂∂⋅⋅=⋅⋅=⋅+-+ρραα略去重力x g d ρ 有：x t uh x xu T t u x d d d 2222⋅∂∂-⋅∂∂⋅=∂∂ρ所以：02222=∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂t u h x u T tu ρρ 设2a T =ρ 有：02=+-t xx tt u hu a u ρ5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。
解：设体密度为ρ,取微元x d （s 与s '中间一段）则质量()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-'⋅+⋅⋅=s x s x x m 31d 31d ρ 而222d 2d x xx x x x x s s +≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+='故()x s s x x x x m d d 31d 23⋅⋅≈⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅=ρρ 纵向上由牛顿定律有：s t x P s t x x P tum ⋅-'⋅+=∂∂⋅),(),d (d 22()s x t x u x x x x t x x u Y t ux s ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∂+∂⋅=∂∂⋅),(d ,d d 222ρ1α2α xl()t x x T ,d +()t x T ,()t x u , x x x d +xss '()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂⋅+∂∂-∂+∂≈x t x x u x x x t x u x t x x u Ys ,d d 2,,d 即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂x x ux x x u Ys t u x s d 2d d 2222ρ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂=∂∂x u x x x a x u x xu a t u x u x x u Y t u 22222222222222ρ（令ρYa =2）5.1-6. 长为l 且质量分布均匀的绳索，上端l x =固定在铅直轴上，由于重力作用，绳的平衡位置应是竖直线。
如果轴以常角速度ω旋转。
导出该绳索相对竖直线的微小振动方程及边界条件。
（惯性离心力）解：设绳相对于竖直线的位移为()t x u ,，取微元x x x d ~+，列方程：水平方向:非惯性参考系 多力平衡：()()tt u x u x t x T t x x T ⋅=⋅++⋅+-d d sin ,sin ,d 212ρωραα① 竖直方向：()()0d cos ,cos ,d 12=-⋅-⋅+x g t x T t x x T ραα②因为1cos cos 21≈≈αα由②式有：()()()gx x T x g t x T t x x T ρρ=⇒=-+d ,,d 又因为：dxx xu+∂∂=≈22tan sin ααxx u∂∂=≈11tan sin αα 所以由①式有：x u x u x u gx x u gxtt xdx x d d 2⋅=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+ρωρρρ 即：x u x u x x u x x gtt d d d 2⋅=⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-ρωρρ x()t x u ,x x d +1α2α x0=xl x =()t x x T ,d +()t x T ,ω2d ωρxu离心力所以： ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=x u x x gu u tt 2ω 边界条件为：()0,=t l u ()t u ,0有界。
5.2-1长为l 的均匀细杆，侧表面绝热，0=x 端有恒定热流密度1q 流入，l x =端有2q 流入，杆的初始温度分布为()2x l x -，试写出相应的定解条件。
解：初始条件：()()20,x l x x u -=边界条件：对0=x 0d d d d 1=⋅+'⋅∂∂t A q t A xuk当0→δ时有：()kq t u x 1,0-= ()A A d d ='同理：对l x = 0d d d d 2=⋅+''⋅∂∂-t A q t A xuk当0→δ时有：()kq t l u x 2,=()A A d d =''5.2-2半径为R 的金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于圆柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热量为q ，外界温度为C 0，试写出这个热传导问题的边界条件。
解：流入圆柱体内的热量有两个方面：①一是外界热源的流入； ②二是由于温度差而流入。
可以采用极坐标：0→δ时有：()0d d d d sin d d 1=-++'⋅∂∂-∑t A u u H t A q t A ukαρ上式中第一项为由Fourier 定律在圆柱体内由A 'd 流入体积元内的热量，第二项为①，第三项为②。
因为01=u ，且A A '=d d ，所以有0sin =-+∂∂-Hu q uk αρ于是，当πα≤≤0时，αρsin q Hu uk=+∂∂ 0=x 1ql x =2qxA 'dA ''dδA 'dA d RqαρqA d当παπ2≤≤时，0=+∂∂Hu ukρ5.2-3电阻率为σ的均匀细导线，通过均匀分布的直流电，电流密度为j ，试导出导线内的热传导方程。
解：当电流流过导线时，导线本身产生焦耳热，相当于导线内有一热源，其热源密度为：()()σσ22d d d d ,j Sx t tS x jS t x F =⋅⋅⋅⋅⋅=详细过程为：S t x u k Q xx ⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=d dS t x u k Q xx x x ⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++d d d d所以：()x t S c t u S x t t x F S t x u k x u k x x x d d d d ,d d ⋅⋅⋅⋅∂∂=⋅⋅⋅+⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ρ 即：()x t S c t uS x t t x F S t x x u kd d d d ,d d 22⋅⋅⋅⋅∂∂=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∂∂ρ ()c j u a u c j u c k u c t u t x F xu k xx t a c kxx t ρσρσρρρ222222,=-−−−→−=-⇒⋅∂∂=+∂∂=令5.2-4设混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q ，即Q tQβ-=d d ，试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
解：设0=t 时，水化热密度为0Q ，则：⎰⎰-=⇒-=⇒-=t 0Q Q d d d d d d 0t Q Q t QQQ t Q βββ积分可得t 时刻的水化热密度为t e Q Q β-=0则放热速率（或单位时间单位体积内放出的热量，即热源密度）为：t e Q tQββ--=⋅01d d所以热传导方程为：()ce Q u u u c ku t zz yy xx t ρβρβ--=++-0 SSx x x d +x。