复 数知识回顾:一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方：4414243*i1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．3. 复数相等如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．二、复数的分类正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =）虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．三、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．3. 复数的向量表示在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．四、复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z +=+② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++（3） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．（2） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．（2） 性质① m n m n z z z+⋅= ② ()m n mn z z =③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i ia b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =． （5） 2z z z ⋅=，z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z =五、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．1的平方根是i ±．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω．12ω=-，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=． 六、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。

3. 复系数方程问题常见类型（1） 已知方程的实根，求方程的复系数c解法：设i c a b =+，将方程的实根代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到c ．（2） 求解复系数方程的根解法：设方程的根i a b +，代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到复根． 典型例题:例 .m 取何实数时，复数i m m m m m z )152(3622--++--=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z 已写成标准形式，即)R (∈+=b a bi a z 、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．同步练习:1. 设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。

2. 已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。

3. 已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x4. 若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。

5. 已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。

6. 复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。

7. 设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.8. 已知向量1OZ 对应的复数是i 45-，向量2OZ 对应的复数是i 45+-， 则1OZ +2OZ 对应的复数是___________。

9. 已知复数|2||4|),(+=-∈+=z i z R y x yi x z 满足条件，则y x 42+的最小值 是________。

10. 计算： ________21211_________1__________|)4()23(|________5)3()5(等于，则已知z i i z ii i i i i i ---==+=--+=---- 11. 复数ii z 213--=的共轭复数是__________。

12. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.13. 设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。

14. 已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为_______15. 求i 125+的平方根。