，门限值的估计为3.79
拟合的门限WACD（1，1）模型是
（5.45）
表示参数为 的标准化韦布尔分布
上述门限WACD（1,1）模型的标准化新息没有检验出非线性
56
5.7 价格变化和持续期的二元模型
（price change and duration，PCD 模型）
ti
Pti
资产在第i次价格变化的日历时间 第i次价格发生变化时的交易价格
2、持续期日模式特征 交易之间的时间持续期呈现日循环模式。举例说，在NYSE中，开 盘和收盘时刻的交易比较频繁，而中午交易比较少，交易强度呈 U型，对应持续期呈倒转U型。这种日模式是由于标的资产以及市 场的系统行为造成的。在建模中，需要剔除日模式对持续期的确 定性影响，着重研究它的随机成分。
32
铺垫一：概率分布知识
16
第i次交易
第 次 交 易 i-1
17
18
5.4价格变化模型
•5.4.1顺序概率模型
•5.4.2分解模型
19
5.4.1顺序概率模型
y xi i
* i
• y 表示所研究的资产不能观测到的价格变 * * * y P P 化（ i ti ti1） • xi 表示 ti 1 时刻可以得到的解释变量的p维 行向量 2 Var ( i | xi ) i • E ( i | xi ) 0 ，
24
5.4.2 分解模型
yi Pti P变动了多少个最小单位
25
Ai , Di都是二元变量，所以都可以logit模型进行估计：
• 对于
• 对于
26
• 对
S i 的解释变量的估计：
– 其中：
g(λ)是参数λ的几何分布 参数 j ,i 随时间的变化为：
51
模拟序列直方图：
52
模拟序列的ACF以及标准化序列的ACF（
为标准化序列）
53
把WACD(1，1)模型中模拟出的500个观测值作为样本，利用条件似然方法估计模型， 估计结果如下：
估计看上去很合理。从ACF可以看出，原始序列有明显的序列相关性，而估计得到 的 序列没有显著的序列相关，从而说明拟合的模型是正确的，符合 是独立 同分布随机变量的假定。
36
4、韦布尔分布（Weibull） 称一个随机变量X服从参数 如果其 pdf为
（形状参数）和 （尺度参数）（
）
X的cdf为
当α=1时，韦布尔分布简化为指数分布。
37
此处，λ是尺度参数，k是形状参数。
38
标准化韦布尔分布： 定义 则E(Y)=1，而且Y的pdf为
Y的cdf为
对韦布尔分布进行标准化，尺度参数消失，期望变为1，方差变为
3
非同步交易：
针对股票日收益率，非同步交易会导致股 票收益率出现一些相关的关系。
例： 股票A、B相互独立，且股票A交易更为频繁。当某 天接近收盘时刻出现一个特定的消息，股票A由于交易 更频繁，所以比股票B更可能在同一天显示出这个消息 的效应，而该消息对股票B的效应则可能延迟到下一个 交易日。
4
非同步交易导致收益率序列负相关
基本假设： ▲每个时间段，证券不交易的概率为π ▲rt表示证券在t时刻的复合收益率 ▲{rt }独立同分布，满足均值为µ,标准差为δ ▲ 表示观测到的收益率
5
与rt的数学关系
6
相关推论：
，利用独立性可得 ，利用方差公式以及独 立性可得

, 利用协方差公式可得
7
的计算：
可得：
结论：非同步交易会导致收益 率序列负相关
估计看上去很合理。从ACF可以看出，原始序列有明显的序列相关性，而估计得到 的 序列没有显著的序列相关，从而说明拟合的模型是正确的，符合 是独立 同分布随机变量的假定。
50
2、模拟二 GACD(1，1 )
假定 服从参数κ=1.5，α=0.5的标准化广义伽马分布。从模型中产生500个观测值， 下图是观测值序列时间图
回忆GARCH模型形式：
43
与GARCH模型类似，过程 期望也为0 ACD模型变形为
是一个鞅差序列，即
，无条件
此处 由上式可以得到ACD模型弱平稳性的基本条件：
期望持续期是正数，则需要
举例：EACD（1,1）模型 Page217-218
其中 服从标准指数分布。假定 是弱平稳，计算其不随时间变化的头两阶矩，并 得到参数需要满足的条件。
）的
f (ti , N i , Di , Si Fi 1 )
f (S i Di , N i , t i , Fi 1 ) f ( Di N i , t i , Fi 1 ) f ( N i t i , Fi 1 ) f (t Fi 1 )
（5.47）
60
① 对价格变化之间的时间持续期 t i
（5.46）
对第i次价格变化的交易数据包括{ti， Ni ，D ， } i Si ）的联合分析
注： 1、集中于与价格变化相联系的交易可降低样本大小 2、价格变化的时间持续期中没有日内模式
58
IBM股票在1990年11月21日的日内交易价格时间图
59
给定 Fi 1的条件下，PCD模型将（ 联合分布分解为：
29
结论：
• 价格变化依赖于上一次的价格变化：
• 价格变化的方式由下式控制：
• 只有很弱的证据表明大的价格变化有更大的可能 性跟随另外一个大的价格变化：
30
R软件进行logistic回归
31
5.5 持续期模型
1、持续期定义 持续期是指交易之间的时间间隔。持续期与交易强度呈反比。持 续期越长，交易强度越低，即交易活动较少。一般使用指数分布、 韦布尔分布以及广义伽马分布来刻画时间间隔的随机分布。
10
相关推论
11
5.3 交易数据的经验特征
12
• • • •
(1)不等间隔的时间区间 (2)离散取值的价格 (3)日周期或者日模式的存在 (4)一秒钟的多种交易
13
每五分钟间隔内的交易次数
14
序列样本的ACF
15
解释可能为：开盘大家对于价格的竞争非常激烈，临近中午收盘 交易强度下降，下午开盘交易强度逐渐回升，在收盘前又会迎来 多空双方相互竞争价格的高峰
实证发现，时间持续期呈现出日内模式。需要剔除其循环成分，使得模型针对的 对象为调整后的时间持续期
其中
是一个确定的函数。
实际应用中，有很多估计 f (t i ) 的方法。光滑插值是一个通常的方法。一下运用简 单的二次插值函数和示性变量来处理日交易活动中确定的组成部分。
我们假定
其中
f5 (t i )
f6 (t i ) f7 (t i ) 是示性变量
44
4、带有广义伽马分布的ACD模型 指数分布、韦布尔分布以及广义伽马分布分别都有相应的危险率函数，也即是强度 函数，通俗的理解是事件发生率（联想泊松分布的参数λ(t)） 危险率函数的定义 具体计算为： X的危险率函数 其中 f ( x ) 和 s( x) 是X的pdf和生存函数。 生存函数 指数分布的危险率函数是常数，韦布尔分布的危险率函数是单调的。对于广义伽马 分布，危险率函数可以有各种不同的形状，包括U型和倒U型。在现实生活中，股票 交易的强度函数不是固定的，对 采用标准化的广义伽马分布，为股票交易的持续 期建模提供了一个灵活的方法。
22
估计结果：
23
结论:
• 边界的划分并不是等间隔的，但是几乎是关于0对 称的（α） • 交易的持续期 ti 不仅影响 yi 的条件均值，而且 影响 yi 的条件方差 （1、 1 ）
• 滞后价格变化的系数为负并且是高度显著的，显 示了价格的逆转性质 （2、3、4） （ 2） • ti 1 时刻的买卖报价价差显著地影响条件方差
1、指数分布 X ~ exp(β) 概率密度函数——
累积分布函数——
E(X)= β
Var(X)=
2
33
此处
=

1
34
2、伽马函数
3、伽马分布
称随机变量X服从参数为 果其pdf为
(形状参数）和
（尺度参数）的伽马分布，如
35
此处，k是形状参数，θ是尺度参数 k=1时，伽马分布就是指数分布；K越大，伽马分布近似于正态分布。
27
估计方法： • 第i次交易有三种情况： – 价格无变化：Ai 0
– 价格上升：Ai 0, Di 1 Ai 0, Di 1 – 价格下降：
• 对于第i次交易，方程（5.24）的对数似然函数为
• 由此，全部的对数似然函数为：
28
例5.2 IBM股票交易数据
• 模型简介：
• 估计结果：
41
通过线性回归的最小二乘法估计
拟合的模型为
42
建模：ACD模型
1、思想：自回归条件持续期（ACD）模型利用GARCH模型的思想来研究调整的时 间持续期 的动态结构。 2、记号说明: (1)调整的时间持续期 (2)第i-1次交易至第i次交易的调整的时间持续期的条件期望 (3) 是独立同分布的非负随机变量序列，并满足 根据 服从的分布，标准指数分布、标准韦布尔分布、标准广义伽马分布，ACD 模型可依次分为EACD、WACD、GACD。 3、模型形式
39
5、广义伽马分布 称随机变量X服从参数 和κ ，尺度参数是β）它的pdf由下式：
的广义伽马分布（形状参数α
当κ=1时，广义伽马分布简化为韦布尔分布。当α=1时为伽马分布。当κ=1， α=1时为 指数分布 其期望为 标准化广义伽马分布：定义Y=X/ [ ]. 则E(Y)=1. Y的pdf为
40
铺垫二：调整时间持续期
i在给定xi 和i 的条件下服从
正态分布
* i
g (i )