组合收益率的矩
• 假设对所有证券按照不交易的概率来进 行分组，在此基础上组成等权重的证券 组合：组合A包含有 N a 个证券（不交易 概率均为 π a），组合B包含有 N b 个证券 0 0 π b ）。定义 rat 和 rbt （不交易概率均为 为这两个组合在 t 时刻的观察收益率。 则
1 r ≈ Nk
• 三、不交易概率 • 假设在每一个t时期，证券i不交易的概 率为 π i ，证券交易与否独立于真实收益 率 {rit }，且独立于任何其他随机变量。 这样，不同的证券有不同的不交易概率， 而每一种证券的不交易过程可以被视为 是一种抛硬币的独立同分布过程（IID）。
模型的推导
• 引入两个伯奴力（Bernoulli）指示变量：
k =1 j =1 ∞ k
• 则 kt 为 t 期前连续不交易的期数。
rit0 = ∑ rit − k
k =0
kt
(3)
rit0 = ∑ rit − k
k =0
kt
• 这说明观察收益率是所有过去真实收益 0 率的随机函数，即 rit 可以表示为随机 期数 (kt ) 的随机变量 ( rit ) 的和。 • 该等式概率为 (1 − π i )2 π ik = (1 − π i )π ik (1 − π i ) • 其中，第一个 (1 − π i ) 意味着第 t 期交易， 而后一个 (1 − π i ) 意味着第 kt −1 期交易， 而 π ikt 则意味着中间 kt 期均不交易。
• 3、真实收益过程的数字特征： • 根据假设，每一时期的真实收益率都是 随机的，并且反映消息到达和非系统噪 声。且有：
E[rit ] = µi (由于E ( ft ) = 0，且E (ε it ) = 0）
• 二、观察收益过程 0 • 1、观察收益率 rit 取决于证券i在t时期是 否交易。如果在t时期不交易，则其观察 收益率为零，因为其收盘价与前期收盘 价相等。如果在t时期交易，则其观察收 益率等于t时期的真实收益率和前一个连 续不交易期间内各期真实收益率的和。
伪自相关系数的最值
• （8）式表明，观察收益率的相关系数 是一个 π i 的非正连续函数，且当π i = 0 时，函数值为0，而当 π i → 1 时，函数 值 → 0 ，因而在[0，1]内，必存在一 个 π i ，使得函数值取得最小值：
− µi2π in Corr[rit0 , rit0+ n ] = 2π i 2 2 σi + µi 1−πi
对于不同期交易导致的伪自相 关的一个直观例子
• 假设股票A和B独立，但B的交易比A频繁。如果某一 影响整体市场的消息在某一交易日临近收盘的时候到 达，则B的收盘价比A更可能反映这个消息的影响， 原因就在于消息到达后至收盘这段期间，A可能不交 易。尽管A的价格最终会反映这个消息，但当采用这 A 种收盘报价制度时，这种滞后反映将导致A和B收益 率之间的横截面伪自相关。这种滞后反映还将导致A 的日收益率的伪自相关：在A不交易时，A的观察价 格为零，但当A交易后，它的观察价格将回复向其累 积均值，而这种均值回归将产生收益率的负的自相关。 这就是由于不同期交易产生的一种伪自相关。 • 在随机游走和有效市场的检验中，这种伪相关必须被 考虑到。
t t
kt r 均有(1 − π i )2 π ik • 这表明，对于任何的 的概率表示成以往 kt 期的真实收益率 的累积，这种可能性确实表明不交易可 能导致伪序列相关。
0 ， it
t
• 随机变量 kt 的期望和方差为：
πi πi E[kt ] = , Var[kt ] = 1−πi (1 − π i ) 2
i
结论1：对于 −
1 2
Min Corr[r , r ] = −( )2 {π i } 1 + 2 ξi
0 t 0 it +1
ξi
(9)
• 结论2：在我们所假设的真实收益过程 中，使取样间隔扩大一倍，会使得µi 扩 大一倍，但却只使σ i 扩大为 2 倍。因而 如果扩大样本间隔 ，不交易导致的自相 关系数（绝对值）将被放大，即对于个 股长期收益水平来说，更极端的自相关 系数是可能产生的 。这还说明，不交 易过程是不独立于取样间隔的，这个因 素将在时间累积中被考虑。
• 2、真实收益过程
rit = µi + β i ft + ε it (i = 1, 2,..., N ) (1)
• 这里 f t 是一个均值为零的共同因子，反映了 信息的影响；共同因子是IID的，并且独立于 任何的 ε it − k（对于任意的 i , t , k ）。而 ε it 则是一个均值为零的非系统性噪声。在任何 时期都是横截面独立的。
δ • 其中， it 衡量是否交易 ，且 {δ it } 是独 X 立同分布的（对于 i = 1, 2,L , N ）； it (k ) 则作为收益率是否累积的系数 。特别的， 定义：
0(t期不交易），概率为π i X it (0) ≡ 1 − δ it = 1（t期交易），概率为1 − π i
不同期交易模型
• 该模型由Lo and MacKinlay（1990）提 出 • 模型的目的：通过对真实收益率和观察 收益率的划分来计算观察收益率的矩和 协矩，从而描述不同期交易导致的伪自 相关。
模型的基本假设
• 一、真实收益过程 • 1、真实收益率 rit 为证券i在t时期的连 续复利收益率 ，这个收益率是不可观察 的。在不存在交易摩擦或其他制度刚性 的情况下，真实收益率反映了证券基础 价格的变动。它不仅反映了公司的特定 信息，而且反映了市场的整体状况。
0 kt i∈I k
rit0 ∑
k = a, b,
(11)
• 当组合A和B的证券数量无限制地增加 时（即 N a , Nb → ∞ ），可以渐进得到组 合的观察收益率的矩：
E[r ] = µ k = E[rkt ]
0 kt
(12) (13) (14) (15) (16)
1−π k 2 Var[r ] = β ( )σ f 1+ π k a 0 0 2 1−π k Cov[rkt , rkt + n ] = β k ( )π knσ 2 f 1+ π k
2π i 2 (6) Var[r ] = σ + µi > σ i2 1−πi − µi2π in，对于i = j , n > 0 (7) 0 Cov[rit0 , rjt + n ] = (1 − π i )(1 − π j ) β i β jσ 2π n , 对于i ≠ j, n ≥ 0 f j 1−π π i j
(4)
个股收益率的矩
• 在我们所假设的真实收益过程和不交易 0 概率下，观察收益率过程{rit }在一阶和 二阶矩上是协方差平稳的。 • 假设 σ i2 ≡ Var[rit ], σ 2 ≡ Var[ ft ] ，可以得 f 到：
E[r ] = µi = E[rit ]
0 it
0 it 2 i
(5)
市场微观结构 Market Microstructure
曾志钊 2002.12.13
讲稿结构
• • • • 第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 微观结构概述 不同期交易 买卖价差 离散性
第一部分 微观结构概述
• 市场微观结构是指资产交易价格的形成 过程和运作机制，具体化为证券价格形 成过程中的微观因素，包括交易品种、 证券市场参与者构成、交易场所构成以 及参与者行为所遵循的交易制度结构。 其中最主要的是交易制度。 • 这里所讲的市场微观结构主要是有集中 交易场所市场的微观结构。
− µi2π in Corr[rit0 , rit0+ n ] = 2π i 2 2 σi + µi 1−πi
(8)
• 如果 µ i > 0（通常情况下） ，则不交易并不 会影响观察收益率的均值〔（5）式〕 ，却会 扩大其方差〔（6）式〕 。 • （8）式表明，一个非零的收益率预期导致个 股在任何前期和后期的负的序列相关系数 （但随着 n 的增大，相关系数的绝对值呈几 何级数衰减）。 • 可以这么理解：在不交易时期，观察收益率 为0；而在交易时，观察收益率回归到其累积 收益均值，而这种均值回归就导致了负的序 列相关系数。
（即不交易），概率为π i 1 δ it = 0(即交易），概率为1 − π i
X it (k ) ≡ (1 − δ it )δ it −1δ it − 2 Lδ it − k，k > 0
1，概率为(1 − π i )π ik = 0，概率为1 − (1 − π i )π ik
0 it 0 it +1
ξi
(9)
• （9）式中，当 ξi → +∞ 时，我们可以 得到一阶自相关系数的下界：
1 Inf Corr[r , r ] = − 2 {π i ,ξi }
0 it 0 it +1
Min Corr[r , r ] = −( )2 {π i } 1 + 2 ξi
0 it 0 it +1
• 2、例子 • 假设证券i连续5期的交易情况如下：在 第1、2、5期交易，在第3、4期不交易。 则有：
r = ri 2 , r = r = 0, r = ri3 + ri 4 + ri5
0 i2 0 i3 0 i4 0 i5
• r 则取决于第1期以前的交易情况 。
0 i1
• 这就抓住了不交易现象作为伪自相关来 源的本质：消息首先影响较为频繁交易 的股票而滞后影响较不频繁交易的股票。 在这种划分中，消息对收益率的影响 （ f t ）由真实收益率反映，而不交易 导致的滞后影响（收益累积）则由观察 收益率反映 。
• 则观察收益率可以表示成：
r = ∑ X it (k )rit − k