（1，1）
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α 取 值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
作业: 利用单调性判断下列各值的大小。
2 2
(1)1.3 与1.5
1 4
0.5
0.5
(2)5.1 与5.09
1 4
(3) 1.79 与 1.81
一般地，函数y= x 叫做幂函数，其中x是自变 量，α是常数. 注意:幂函数中α 的可以为任意实数.
二、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y 自变量， 为常数。
x

的函数叫做幂函数，其中 为
x
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（ 1 ）y 3 ; (2) y x ; (3) y 2 x ; (4) y x 1;
2
3
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数
y x的图像
定义域： 值 域：
R
R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性： 在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,)
在R上是偶函数 奇偶性：
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
用描点法作出函数y=x3的图象.
2
3 解得m 3, n . 2
三、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
指数函数: y=a x （a>0且a≠1) 幂函数: y= xα
x
y
a为底数
指数
底数
幂值 幂值
α为指数
判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点： 看未知数x是指数还是底数 指数函数
幂函数
四、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x (3) y x
问题引入：函数的生活实例
问题 1 ：如果张红购买了每千克 1 元的苹果 w千克， yx 那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。 问题2：如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 2 yx 是S = a²， 这里S是a的函数。 问题3：如果立方体的边长为 a，那么立方体的体积 3 yx 是V = a， 这里V是a的函数 。 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ，那么正方形的 ³ 1 边长a= S ， 这里a是S的函数 。 y x2 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车 1 t 的平均速度v = km/s ， 这里v是t的函数 。 y x 1
4.5幂函数
学习目标
一、知识目标：
1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能自行发 现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用.
二、能力目标：
通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 三、情感目标： 通过观察图象体会数学的简洁美.
一、幂函数的概念的引入

1 2
3 2m

1 2
,
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2

1 2
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
x 2 2
2
1 (5) y x
思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα 有什么区别？
2.已知幂函数y = f (x)的图象经过点
(3, 3)
求这个函数的解析式。
分析：例题要求函数的解析式，首先由题知，此函数 是幂函数，也就符合幂函数的一般形式， y x 而且我们知道图像过点 (3, 3) 只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求出 函数的解析式。 待定系数法
x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y=x -27 -15.63 -8 -3.375 -1 -0.125 0 0.125 1 3.375 8 15.625 27
3
-4
-3
-2
30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -1 0 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30
1 2
用描点法作出函数y x 的图象.
5 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1
1 2
函数 y x 的图像
1 2
定义域： [0,)
值 域： [0,) 奇偶性： 非奇非偶函数
单调性： 在[0,)上是增函数
1 2
(5) y x
1
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α 取值 的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
1 y x 函数 的图像
定义域： 值 域：
{x x 0}
{ y y 0}
奇偶性： 在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x (1) (2) y x (3) y x
(4) y x
α>1
α=1
0 <α <1
α<0
1 x
3.在 x=1 的右侧指大图高.
小结:
1．记住幂函数的定义； 2．掌握幂函数的图象和性质； 3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述了函数的 图象特征,最后抽象到运用数学语言和符号刻画了相应的数 量特征. 这是一个循序渐进的过程,这也是数学学习和研究 中经常使用的方法.
1 限内的图象，已知 k分别取 1,1, , 2 四个 2
C4 C2 C 值，则相应图象依次为:________ 3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1 的右侧，大指数在上，小 指数在下，指大图高
思考：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数 在第一象限的图象特征吗？ a
yx
y 1.图象都过点(1,1) 2.α>0时图象过原点且上升， α<0时图象不过原点且下降， 同时以两坐标轴为惭近线. 1 o
解：设所求幂函数的解析式为
y x
(3, 3)
入解析式得：
因为点 在函数图像上，所以代
y x2
3 3a 1 a 2 1
3.如果函数f (x) = (m2+2m－2)
x
1 m 2 1
2n 3
是幂函数，求实数m,n的值。
解：由题意得
m 2m 2 1 2 m 1 0 2n 3 0
1 2
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用 a yx y来表示,则它们的函数关系式将是:
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4)
(5)
y=x y=x2 y=x1/2 y=x3 y=x-1

（1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。
1
2
3
4
函数 y x 的图像ຫໍສະໝຸດ 3定义域：值 域：
R R
在R上是奇函数 奇偶性：
在R上是增函数 单调性：
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
yx 0 1 1.414 1.732 2 2.236 2.449 2.646 2.828 3 3.162 3.317 3.464 3.606 3.742 3.873 4
α>1 0<α<1
α<0
a=1
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
2.5 5 与 2.7 5 解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R R 奇函数
yx 0 （0，+） ， 0 （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是 增函数 公共点
在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 减函数 数
(3)
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5