一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.（1）求y与x之间的函数关系式;（2）作出函数的大致图象.【答案】（1）解：如图①：作CO⊥AB于O，①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，∵MA'⊥AB，CO⊥AB，∴△MC'A'∽△CC'O，∴，即 = ,∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数)，②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m<x≤2m).（2）解：如图②所示：【解析】【分析】（1）如图①：作CO⊥AB于O，①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'；根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m<x≤2m).（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.2．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t=4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；（4）若S=12，则t=________．【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，∴△BCD∽△BOA，∴而CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8− ，OA＝4，则8− ，解得t＝，∴当点D在直线AB上时，t＝（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得，即，解得CF=3，∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7（3）解：①当0＜t≤时，S= t2②当＜t≤4时，S=-t2+10t−16③当4＜t≤16时，S=t2+2t（4）8【解析】【解答】解：（3）①当0﹤t≤时，如图（1），②当<t≤4时，如图（2），∵A（4,0），B（0,8）∴直线AB的解析式为y=-2x+8,∴G（t,-2t+8）,F(4-,),∴DF=t-4,DG=t-8，∴S=S矩形COED-S△DFG=t·③当4＜t≤16时，如图（3）∵CD∥OA，∴△BCF∽△BOA，∴∴,∴CF=4-,∴S=S△BOA-S△BCF=（4）由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8【分析】（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8- ，OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t的值；（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF ：CB=OA ∶OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；（3）①当0﹤t≤ 时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积公式即可得出函数关系式；②当<t≤4时，如图（2），利用待定系数法，求出直线AB 的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示出G,F的坐标，进而表示出DF的长，DG的长，根据S=S矩形COED-S△DFG即可得出函数关系式；③当4＜t≤16时，如图（3）根据矩形的性质得出CD∥OA，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BCF∽△BOA，由相似三角形的对应边成比例得出BC：BO=CF：OA,根据比例式表示出CF的长，再根据S=S△BOA-S△BCF即可得出函数关系式。

3．书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……若这张矩形印刷用纸的短边长为a．（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(AB BC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求的值．（2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC ∠C 90°．∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，∴∠CBE ∠FBE 45°，∴∠CBE ∠CEB 45°，∴BC CE a，BE ．∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，∴AB BE ，∴（2）解：根据题意和（1）中的结论，有AH BH ，．∴．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A ∠B 90°，∴△MAH∽△HBC，∴∠AHM ∠BCH．∵∠BCH ∠BHC 90°，∴∠AHM ∠BHC 90°，∴∠MHC 90°，∴HC⊥HM．（3）【解析】【解答】解：（3）如图④，根据题意知（1）中的结论，有BC=AD= a，AF=IG= a，NI=MP= a，OP= a，又∵∠C=∠ADE=90°, ∠BEC=∠AED,∴∆BCE≌∆ADE，∴S ∆BCE=S ∆ADE,同理可得，S ∆AFH=S ∆IGH, S ∆INQ=S ∆MPQ,∴四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC= ．【分析】（1）利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在AB上的F处，可得出∠CBE=∠FBE=∠CEB=45°，可得出CE=BC，利用勾股定理可用含a的代数式求出BE的长，再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，可用含a的代数式表示出AB的长，然后求出AB与BC的比值。

（2）利用（1）的结论，可用含a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出，利用矩形的性质可得出∠A = ∠B，再根据相似三角形的性质，证明△MAH∽△HBC，利用相似三角形的性质，去证明∠AHM + ∠BHC = 90°，然后利用垂直的定义可解答。

（3）利用已知条件证明∆BCE≌∆ADE，可证得S ∆BCE=S ∆ADE， S ∆AFH=S ∆IGH, S ∆INQ=S ∆MPQ，再根据四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC，可求出答案。

4．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∴BC= AB=5，∴AC= ，∴S△ABC= AC⋅BC=（2）解：连接AD，∵∠ACB=90°，CD=BC，∴AD=AB=10，∵DE⊥AB，∴AE= =6，∴BE=AB−AE=4，∴DE=2BE，∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，∴∠AFE=∠DBE，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴ =2，∴EF= AE= ×6=3（3）解：连接EC，设E(x，0)，当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，∴，∵EC是Rt△BDE斜边的中线，∴CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴∠EOF=∠CEB，∴OF∥CE，∴△AOF∽△AEC∴，∴，即，解得x= ，因为x>0，∴x= ；②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，若∠EOF=∠B，则OF∥BD，∴OF= BC= BD，∴即解得x= ，若∠EOF=∠BAC，则x=− ，综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（−，0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.5．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．6．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：∵PD平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∵AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，∴△PAE∽△PBD，∴，∴PA•BD=PB•AE（2）解：如图，过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵PD平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，∵∠EAP=∠B，∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0的两个实数根，解得：AE=2，BD=3，∴由（1）可知：，∴cos∠APC= ，∴cos∠BDF=cos∠APC= ，∴，∴DF=2，∴DF=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD=DF，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，∵cos∠BAC=cos∠APC= ，∴sin∠BAC= ，∴，∴DG= ，∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2× = .【解析】【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案.（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.7．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m， 0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值________（直接写出结果）．【答案】（1）解：将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3（2）证明：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k≠0），将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：，解得：，∴线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3．同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6．∵点P的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6），∴EP=-m+3，EF=-m+3，∴EF=EP．（3）【解析】【解答】解（3）如图③，连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q．∵OC=1，OB=3，∴BC= ．(勾股定理)∵∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90°，∴△BQR∽△AOB，∴ ,即 ,∴RQ= BR，∴AR+ BR=AR+RQ，∴当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+ BR=AQ时，其值最小．∵∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC，∴△CQA∽△COB，∴ ,即∴AQ= ，∴ BR+CR的最小值为．故答案为：．【分析】（1）根据A，C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；（2）利用待定系数法求出线段AB，AD所在直线的函数关系式，用m表示EF，EP的长，可证得结论；（3）连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q，则△BQR∽△AOB，利用相似三角形的性质可得出RQ= BR，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+ BR=AQ时，其值最小，由∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC可得出△CQA∽△COB，利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解．8．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【答案】（1）解：∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴ = ，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF= =8，∴S△PEF= EF•OE= ×8×9=36（cm2）（2）解：∵△BEF∽△BOA，∴EF= = = （15-t），∴ × （15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值（3）解：当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴ = ，即 = ，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴ = ，即 = ，解得t= ．∴当t=6或t= 时，△EOP与△BOA相似【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF= •EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则 = ，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．。