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数学中考数学压轴题(讲义及答案)附解析

一、中考数学压轴题1.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s .(1)a =______cm ,b =______cm ;(2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分?(3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积等于6cm 2.2.在平面直角坐标系中,抛物线24y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且:3:4∆∆=ABC BCE S S .(1)求点A ,点B 的坐标;(2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式;②求抛物线的解析式.3.如图1,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标.(3)如图3,点M 的坐标为(32,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标.4.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=5,cos45B ,点O是边BC上的动点,以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M,联结AM,作∠CMN=∠BAM,射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N.(1)当点E为边AB的中点时,求DF的长;(2)分别联结AN、MD,当AN//MD时,求MN的长;(3)将O绕着点M旋转180°得到'O,如果以点N为圆心的N与'O都内切,求O的半径长.5.如图1,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC,若cos∠BAC=13,BC=8.(1)求证:CF 是⊙O 的切线;(2)求⊙O 的半径OC ;(3)如图2,⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ,连结BH 交弦CD 于点M ,连结FM ,试求出FM 的长和△AOF 的面积.6.问题背景:如图(1),ABC 内接于O ,过点A 作O 的切线l ,在l 上任取一个不同于点A 的点P ,连接PB PC 、,比较BPC ∠与BAC ∠的大小,并说明理由.问题解决:如图(2),A (0,2)、B (0,4),在x 轴正半轴上是否存在一点P ,使得cos APB ∠最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.拓展应用:如图(3),四边形ABCD 中,//AB CD ,AD CD ⊥于D ,E 是AB 上一点,AE AD =,P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点,若8AB =,11CD =,tan 2C =,9DEP S =,求sin APB ∠的最大值.7.如图,在平面直角坐标系中,点(1,2)A ,(5,0)B ,抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ,连结AO ,AB .(1)求点C 的坐标;(2)求直线AB 的表达式;(3)设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ,BA 延长线于点D ,E .①若2AE AO =,求抛物线表达式;②若CDB △与BOA △相似,则a 的值为 .(直接写出答案)8.对于平面内的点M 和点N ,给出如下定义:点P 为平面内的一点,若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形,则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P .如图,点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点.(1)已知点(2,0)A ,在点123(0,2),(13),(13)P P P -,4(2,2)P -中,是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________.(2)已知点(3,0)A ,点C 在直线2y x b =+上,若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点,求实数b 的取值范围.(3)点D 是x 轴上的动点,(,0),(2,0)D t E t -,点(,)F m n 是以D 为圆心,2为半径的圆上一个动点,且满足0n ≥.直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ,,若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点,请直接写出t 的取值范围.9.如图,一张半径为3cm 的圆形纸片,点O 为圆心,将该圆形纸片沿直线l 折叠,直线l交O 于A B 、两点.(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O ,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l (不写作法,保留作图痕迹),并求此时线段AB 的长度.(2)已知M 是O 一点,1cm OM =.①若折叠后的圆弧经过点M ,则线段AB 长度的取值范围是________.②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,则线段AB 的长度为_________cm .10.在平面直角坐标系中,直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.(1)如图1,求b 的值;(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=︒,点P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,连接FN ,求EFN 的面积.11.在菱形ABCD 中,P 为直线DA 上的点,Q 为直线CD 上的点,分别连接PC ,PQ ,且PC PQ =.(1)若60B ∠=︒,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图①,易证:DQ PD AB +=(不需证明);(2)如图②,若∠B =120°,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图③,猜想线段DQ ,PD 和AB 之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.12.如图1,平面直角坐标系xoy 中,A (-4,3),反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ,BC 于E ,F (E ,F 不与A 重合),沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ,D 重合.(1)①如图2,当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时,求CE 的长;②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内(不包括边界),求线段CE 长度的取值范围. (2)若折叠后,△ABD 是等腰三角形,请直接写出此时点D 的坐标.13.如图,四边形AOBC 是正方形,点C 的坐标是(82,0).(1)正方形AOBC 的边长为 ,点A的坐标是 ;(2)将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒,点A ,B ,C 旋转后的对应点为A ',B ',C ',求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积;(3)动点P 从点O 出发,沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动,同时,另一动点Q 从点O 出发,沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动,运动时间为t 秒,当它们相遇时同时停止运动,当OPQ △为等腰三角形时,求出t 的值(直接写出结果即可).14.新定义,若关于x ,y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩,关于x ,y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11x x y y =⎧⎨=⎩,且满足1000.1x x x -≤,1000.1y y y -≤,则称方程组②的解是方程组①的模糊解.关于x ,y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解,则m 的取值范围是________. 15.如图,在▱ABCD 中,对角线AC ⊥BC ,∠BAC =30°,BC =23,在AB 边的下方作射线AG ,使得∠BAG =30°,E 为线段DC 上一个动点,在射线AG 上取一点P ,连接BP ,使得∠EBP =60°,连接EP 交AC 于点F ,在点E 的运动过程中,当∠BPE =60°时,则AF =_____.16.已知四边形ABCD 为矩形,对角线AC 、BD 相交于点O ,AD =AO .点E 、F 为矩形边上的两个动点,且∠EOF =60°.(1)如图1,当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时,若∠OEB =75°,求证:DF =AE ; (2)如图2,当点E 、F 同时位于AB 边上时,若∠OFB =75°,试说明AF 与BE 的数量关系;(3)如图3,当点E、F同时在AB边上运动时,将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP,取线段CB的中点Q.连接PQ,若AD=2a(a>0),则当PQ最短时,求PF之长.17.在一次数学课上,李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题(2)如图 1,如果 AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180° B.270° C.360° D.540°(1)请写出这道题的正确选项;(2)在同学们都正确解答这道题后,李老师对这道题进行了改编:如图2,AB∥EF,请直接写出∠BAD,∠ADE,∠DEF之间的数量关系.(3)善于思考的龙洋同学想:将图1平移至与图2重合(如图3所示),当AD,ED分别平分∠BAC,∠CEF时,∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.(4)彭敏同学又提出来了,如果像图4这样,AB∥EF,当∠ACD=90°时,∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.18.如图1,以AB为直径作⊙O,点C是直径AB上方半圆上的一点,连结AC,BC,过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.(1)如图1,连结AD,求证:∠ADC=∠DEC.(2)若⊙O的半径为5,求CA•CE的最大值.(3)如图2,连结AE,设tan∠ABC=x,tan∠AEC=y,①求y关于x的函数解析式;②若CBBE=45,求y的值.19.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,点D在△ABC外,连接AD、BD,且∠ADB=90°,AB、CD相交于点E,AB、CD的中点分别是点F、G,连接FG.(1)求AB的长;(2)求证:AD+BD=2CD;(3)若BD=6,求FG的值.20.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=2,AC=4.对角线AC、BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转α°(0°<α<180°),分别交直线BC、AD于点E、F.(1)当α=_____°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)在旋转的过程中,从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形,①当α=_______°时,构造的四边形是菱形;②若构造的四边形是矩形,求该矩形的两边长.21.在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q,(1)如图①所示.当∠CNG=42°,求∠HMC 的度数.(写出证明过程)(2)将直尺向下平移至图 2 位置,使直尺的边缘通过点 C,交 AB 于点 P,直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。

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