图形说明
图1.1给出了函数P的3维图象，图象显示，P在内部达到 最大值； 图1.2给出了P的水平集图，从中我们可以估计出P的最 大值出现在s=5000,t=7000附近。函数P是一个抛物面，其 最高点为方程组的唯一解。
图1.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的3维图象
问题1:
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电视
机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价 为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21英寸彩电每台
225
美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的 彩
电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，
3 结果说明
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每 年 获得的净利润为553641美元。 19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
其中a=0.0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
模型求解
1 求解方法： （1）求出稳定点（s0 , t0）,即解方程组
P( s, t ) 0 s P( s, t ) 0 t
（2）判断是否在稳定点处取极值，方法如下：
1）先计算
2 P ( s, t ) D1 s 2 ( s
0 , t0 )
相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元；
4.固定成本为400000美元。
变量之间的相互关系确定：
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售 价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩 电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩 电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销 售，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售
价
会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降 0.4
美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？
步骤：
1．问题分析、假设与符号说明 2．建立数学模型 3．模型求解 4．灵敏性分析
因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
建立数学模型
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
max P ( s, t ) （339-as 0.003t )s (399 0.01t 0.004s )t (400000 195s 225t ) s.t s 0, t 0
变量之间的相互关系确定：
因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339 - a×s - 0.003×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399 - 0.01×t - 0.004×s 因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t 生产成本为： C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为： P=R-C
1662000 40000a 49 581700 t (a) 8700 40000a 49 s(a)
(1)
图1.3，1.4画出了s(a)，t(a)关于a的曲线图。 由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量s的下降，及21英寸彩电的最优生产 量t的提高。
0 0
0 , t0 )
P ( s, t ) t 2 ( s
0 , t0 )
2 计算结果 运用Mathematica计算得出：
稳定点为:（4735，7043）, D1= -0.02< 0， D2=0.000351 >0， 所以P(s,t)在稳定点处取得 最大值553641.
其它数据为：p=270.52，q=309.63，C=2907950，利润率=0.190385
1）产量对a的灵敏性分析 在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面的公 式中，我们得到：
P ( s, t ) （339-as 0.003t ) s (399 0.004s 0.01t )t (400000 195s 225t )
令P关于s，t的偏导数为零，则：
符号说明(变量)
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
常量
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售
图1.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
灵敏性分析：
由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数 a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的
影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们
只考虑a的微小变化对这两个的影响。
图1.3 s关于a的灵敏性曲线
图1.4 t关于a的灵敏性曲线
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a 的灵敏性记作 S (s,,a 定义为 )
D2
2 P ( s, t ) s 2 ( s 2 P ( s, t ) st ( s
0 , t0 )
2）判断 若D1 > 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极小值点； 若D1 < 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极大值点； 2 D2 <0,则（s0 , t0）不是极值点； 若 P ( s, t ) 若 则不能肯定（s0 , t0）是不是极 D s t =0, 2 ( s ,t ) 2 值点，还需进一步判定。