p
l 2 0
ln rp
--------无限长线电流在空间产生的电位
引入电位函数的意义： 简化电场的求解——间接求解法
在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，
因此可以通过先求解电位函数，再由关系 E 得到电场解。
例
求电偶极子p qdl 的电位 r (教材例3.1.1)。
定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即
CQ U
电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和
无关
例： 空气中半径为a的孤立导体球
Q
4 0 a
C
Q
4 0 a
2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）
C Q
1 2
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关
例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等）
d Eldl E dl
◇ 空间A、B 两点的电位差
◇ 若选取 P(xP , yP , zP )为电位参考（即 P 0 ）， 则任意点 A(x, y, z) 的电位为
B
B A El dl
A
xP ,yP ,zP
A P
El dl
x,y,z
2、选择电位参考点的原则：
1.应使电位表达式有意义； 2.应使电位表达式最简单；
z r
q
P r, ,
dl
r r
q
解：取如图所示坐标系，场点 Pr,,
的电位等于两个点电荷电位的叠加
q 40
1 r
1 r
而 r r2 dl2 2rdl cos
1
1
r r2 dl2 2rdl cos
当 r dl
1 r
1 r
பைடு நூலகம்
1 r2
dl cos
因此
1 40
1 r2
dl
cos
1 r
◇ N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的 电荷关系为 N
i pijqj i 1,2...N （共有 N 个方程）
j 1
◇ 其中 pij 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质
有关。
◇ 由以上N 个方程可解出
N
qi ij j i 1,2...N
3.同一个问题只能有一个参考点；
4.电位参考点的电位值一般为零
3、电位函数的求解
◇ 点电荷的电位
1 RP qeR gdl q RP dR
40 R R2
40 R R
q 40
1 R
1 Rp
q 4 0 R
C
若取 RP 处的电位为零，则
q 4 0 R
点电荷在空间产生的电位
◇ 体电荷 d 、面电荷 dS 、线电荷 ldl 产生的电位分别为
3.1 静电场分析 3.2 恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题
3.1 静电场分析
◇ 静电场的源变量是电荷 qr
◇
第2章中已由库仑定律引入了电荷
qr产生的电场强度
E
1 40
qR R3
◇
任意电荷分布产生的电场强度
E
r
1 40
r '
R3
R d
'
◇ 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 2 0
◇
电位满足的边界条件
ra U r 0
C1 r
C2
C2 0 C1 aU
直接积分
由题意可知电位及电场具有球对称性 r
在球坐标系下
2
1 r2
d dr
r2
d dr
因此
aU r
E
r
er
r
er
aU r2
3.1.3 导体系统的电容
一、电容
1、孤立导体的电容
第 3 章 静态电磁场分析
◇ 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。 ◇ 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。 ◇ 建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A； 在特定条件下引入标量位 。
◇ 讨论电容的计算，电场能量的计算。 ◇ 讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。 ◇ 静态场边值问题的解法---分离变量法、镜像法
3.1.2 电位函数
1、由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直 1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数
角
E
ex
x
坐 标 系
ey
y
2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
ez
z
Ex
x
E
y
y
◇ E在任意方向上的分量
El l
Ez z
◇ 由此可求得电位的微分
C
Q
1 2
ss
Ed
ss
d
0 s
0
s d
二、部分电容
若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容
1.单个导体上的电量 q C
2.两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为
q1 C12 (1 2 ) C111
3、 N个导体
导体间的电容 导体与大地间的电容
j 1
（共有 N 个方程）
◇ 当 i j 时 ， jj 称为电容系数，i j 时 ，ij 称为感应系数，且 ij ji i j
N
N
◇ 引入 Cij ij ,Cii ij ，方程 qi ij j 可写为
D0
r
0
E
r
1 4
r '
R3
Rd
'
◇ 关系式 D0 0E 称为真空的电特性方程或本构关系
3.1.1静电场的基本方程
1、基本方程
Ñ D dS q
s
Ñ E dl 0
l
D0 E 0
本构方程 D E
2、边界条件
nE1 E2 0
E1t E2t
nD1 D2
D1n D2n
1 d C
40 R
, 1 dS C
40 s R
, 1 ldl C
40 l R
◇无限长线电荷的电位
E
l 2 0r
eˆr
p
Q
l 2 0
(ln
rQ
ln rp )
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，
选取 r 1 柱面为电位参考点，即 rQ 1 ，得
的 泊 松
方
若空间电荷分布为零，则有 2 0 电位满足的拉普拉斯方程
程
在直角坐标系中 2 2 2 2 0 x2 y2 z2
电位的边界条件 l 0 • 1
• 2
vv
1 2 E • dl 0
D1n D2n s
而D E
有
1
1
n
2
2
n
s
若
s 0 有
2
2
n
1
1
n
1 2 0
例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外 空间的电位。
1 r
q dl cos
由于 40
r2
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位
1 40
p er r2
1 40
pr r3
电偶极子的电场强度
E
1 40
3
p r5
r
r
p r3
4、电位的微分方程
由 E D 0E 0
电
位
D
0
0
2
0