ht 01 rt 2 1 ht 1
5.1.2 ARCH和GARCH模型
其中α0、α1和β均为待估的参数，可以用历史数 据估计出。 这个模型的优点在于模型简洁，参数较少，且 对于数据的拟合相当好。 GARCH模型已经成为金融市场时间序列分析 的主要工具。 GARCH模型的主要缺陷在于它是一种非线性 的函数。参数需要通过似然函数最大化估计得 到，并且通过数值算法求出。并且，研究者要 假设测量残差εt=rt/σt服从正态分布。
5.3.4 组合股票数与收益标准差二 维图
改变上段综合计算程序中随机数产生器 RANUNI(&I)中的种子，分别取值RANUNI (28668)，RANUNI(13878), RANUNI(10345), RANUNI(190124)得到以下5个组合股票数与收 益标准差二维图形，见图5.8。 观测各图可以得到结论：当组合中的股票数得 到20支以上时，继续增加组合中的股票数加标 准差的减少并不明显，当然，如图显示，当股 票数超过60时，标准差会突增，然后突降。
（3）RANUNI（13878）
port_std 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 10 20 30 40 50 n 60 70 80 90 100
（4）RANUNI（10345）
图5.3 爱使股份日收益时序图
r600652 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 -0.12 -0.14 -0.16 -0.18 -0.20 1995-01-01 1996-01-01 1997-01-01 1998-01-01 日期|Date 1999-01-01 2000-01-01 2001-01-01
（1）RANUNI（I）（种子随组合中股票的个数而变化：I=2,4,…,100）
port_std 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 10 20 30 40 50 n 60 70 80 90 100
5.2.3 三种模型结果比较
图5.4为用三种模型求得上证指数日收益波动率时序图， 图5.5为用三种模型求得爱使股份日收益波动率时序图， 其中，蓝色为简单移平均模型结果图，绿色为指数平 滑模型结果图，黑色为GARCH(1,1)模型结果图。 一般的实证结果表明，Garch能最快的反映波动率的变 化，其次是EWMA。比较下面各图，我们可以得到同 样的结论，进一步，如果将图5.4和图5.5按年份画开， 可能会看的更清楚，如图5.6和图5.7为2000年的相关图。 但在实际应用中EWMA方法实现要容易的多，所以 EWMA是一种比较实用测定当前波动率的方法。
5.1.3 波动率估计公式
5.2 波动率计算
5.2.1 计算环境 5.2.2 单个股票波动率计算 5.2.3 三种模型结果比较 5.2.4 多个股票波动率计算
5.2.1 计算环境
需要数据集：全部A股个股票数据集，即目录 STOINDIV下的所有SAS数据集。 需要宏文本文件：全部A股.TXT; 时间区间：1995~2000年; 计算日波动率，计算周、月或年波动率，可以用相应 的收益率计算或直接由日波动率乘以一个相关因子。 对涨跌停板不作处理。 考虑涨跌停板后的波动率计算，涉及比较复杂的方法， 如广义矩方法（GMM），GIBS SAMPLER抽样等。作 者将在以后有关金融建模著作中给出考虑涨跌停板后 的波动率计算程序。

2 t
2 t 1
(1 )[ rt 1 E ( rt 1 )]
2
其中，衰减因子λ必须小于1。
5.1.2 ARCH和GARCH模型
GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型称广义自 回归条件异方差模型，或称为广义ARCH模型， GARCH模型假定收益的方差服从一个可预测 的过程，它依赖于最新的收益，也依赖于先前 的方差。 GARCH（1，1）是这类模型中最简单的，用 公式表示有：
5.3.2 实现算法
第一步：挑选出1999年前上市的全部A股股票，即2000 年全年都有交易数据的全部A股股票，这些股票的代码 存于宏文本ALISTEDBEFORE1999.TXT。用于计算这 些股票的收益率； 第二步：对于第一步挑选的股票，计算2000年的日百 分比收益，存于SAS数据集STOINDIVR_A2000中； 第三步：随机抽取一个投资组合，并求出相就的标准 差； 第四步：组合第三步的各段程序，用宏编写综合计算 程序。
5.3 等权重组合收益波动率
5.3.1 计算环境与输出数据集 5.3.2 实现算法 5.3.3 实现程序 5.3.4 组合股票数与收益标准差二维图
5.3.1 计算环境与输出数据集
1999年前上市的所有A股股票； 2000年全年的日收益率； 用到的数据集：股本变动历史数据集 COMPULSION.SHARES, SAS逻辑库STOINDIV下所有A股 个股票数据集。 投资组合：随机抽股票组成投资组合，每个组合包括的股 票数分别为：2，4，…, 100。每个组合各抽一次。 投资组合收益率：等权重收益率。 输出数据集：计算组合日收益率2000年的标准差。该过程 可以重复5次，分别得到5个数据集，每个数据集包括的主 要变量应该有：组合中股票的个数，该组合日收益率2000 年的标准差。 作图：将组合中股票的个数与标准差作图，研究它们的关 系，观测标准差有无随股票个数增加而减少的趋势。
port_std 0.026 0.025 0.024 0.023 0.022 0.021 0.020 0.019 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0 10 20 30 40 50 n 60 70 80 90 100
习题
1. 考虑涨跌停板后的波动率计算。 2. 设计自动程序，运行等权重组合收益 波动率综合计算程序10次，自动输出数 据集中包括变量：N , PORT_STD1PORT_STD10。然后，以变量N为横轴， 其余所有变量有竖轴作一个重叠图。
图5.2 上证指数日收益时序图
r1a0001 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 -0.12 -0.14 -0.16 -0.18 1995-01-01 1996-01-01 1997-01-01 1998-01-01 日期|Date 1999-01-01 2000-01-01 2001-01-01
（2）RANUNI（28668）
port_std 0.056 0.054 0.052 0.050 0.048 0.046 0.044 0.042 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032 0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0 10 20 30 40 50 n 60 70 80 90 100
t 1 M
简单移动平均模型是动态模型中最为简单的一种。假 定要估计今天资产收益的波动率，我们以过去M天收 益的样本方差来估计今天的波动率，即：
t 2 [1 /(M 1)] (rt i
i 1 M
r
j 1
M
t j
M
)2
5.1.1 移动平均模型
0.07
60天移动平均 20天移动平均
图5.5 三种模型求得爱使股份日收益波动率时序图
SMA600652 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 1995-01-01 1996-01-01 1997-01-01 1998-01-01 日期|Date 1999-01-01 2000-01-01 2001-01-01
图5.4 三种模型求得上证指数日收益波动率时序图
SMA1a0001 0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00 1995-01-01 1996-01-01 1997-01-01 1998-01-01 日期|Date 1999-01-01 2000-01-01 2001-01-01
第5章 收益波动率计算
经管学院金融系 朱世武
5.1 波动率估计法
5.1.1 移动平均模型 5.1.2 ARCH和GARCH模型 5.1.3 波动率估计公式
5.1.1 移动平均模型
表5.1 移动平均法估计波动率
等权重
ˆ 1 M (rt r ) 2 M 1 t 1
指数加权
ˆ (1 ) t 1 (rt r ) 2
0.06
0.05
波动率
0.04
0.03
0.02
0.01
0 1997-6-19 1998-1-5 1998-7-24 1999-2-9 1999-8-28 2000-3-15 2000-10-1 2001-4-19
时间
图5.1 波动率的时间曲线
5.1.1 移动平均模型
指数加权移动平均模型依赖参数,称为衰减因子(decay factor)，些参数决定估计波动率时各观察数据的相对权重。 在表5.1中指数加权移动平均（EWMA）估计量中我们用 到了以下的近似公式。