浪符号的dzt是等价鞅测度下的布朗运动）
16
18.4 BLACK-SCHOLES公式的鞅方法推导
等价鞅测度中求期望
《
金
融 经 济 学 二 五 讲 》
在机等变价量鞅测度中，站lo在g ST0: 时 l刻og S0来 r看 12，2 Tlo,g2TST是一个正态分布的随 log ST a bu
配
套
购房者有提前偿还按揭贷款的权利——按揭贷款中存在的期权给 按揭贷款定价带来困难
购房者有在按揭贷款存续期内出售房屋的可能
如果按揭贷款不能提前还款，购房者很可能一开始就不会借贷款（因 为预期在很长时间内都无法出售房屋）
9
17.4 按揭贷款定价
按揭贷款的二叉树定价：模型设定和符号
《
金
融 经
模型设定
二 五
得V(R-1,G)的期望支付
讲 》
以G/(R+G)的概率摸到绿球，因而损失摸出的这个绿球带来的损失1块钱，并在未来的赌
配 套 课 件
局中获得V(R,G-1)的期望R支付1V (R 1,G) G 1V (R,G 1)
GR
G R
参与者有随时退出的权力——如果摸球带来的期望支付小于0，就不会再摸球了 上式是动态规划（dVy(nRa,Gm) icmparxog0,rGamR Rm1inVg）(R 中1,G的)贝G尔G R曼1方V程(R（,G B1e)llman equation）
配 套 课
两个时期内，股价都有翻倍和减半两种可能
件
每时期的无风险资产总回报都为er=1.25
欧式卖出期权
S=400
2时刻到期、行权价为100元的P欧uu =m式ax(K和-S,0)=美0
S=200
式卖出期权的0时Pu刻=0 价格
S=100
S=100
P风0 =1险2 中性概率为qS==500.5（=(1.25-0P.5ud)=/m(ax2(K--0S,0.)5=0)）
《
金
融 经 济
定义在二叉树每个节点完成规定的本息支付后，剩余贷款的价
学
二 五 讲
值为Vs——还款人未来需要偿付的所有款项的现值和
》 配 套
下标s标明了计算值函数的节点
课
件
s情对形应的两个后续Vs 节11点rs 记q r为Bs sBus 和 Bssu dV，su 分 (1别 q)对rB应s B市s 场Bsd 利Vs率d 上升和下降的
金
融
经
济
学
二
定义值函数V(R,G)为盒中有R个红球、G个绿球的赌局带来的期望支付
五
讲 》
赌局带来的期望支付为V(20,20)
配
套 课
逆向递推的起点
件
盒中没有球，支付为0：V(0,0)=0
只剩一个红球，参与者肯定摸球，确定性地赢1块钱：V(1,0)=1
只剩一个绿球，参与者肯定不摸，获得0的支付：V(0,1)=0
P d =30
S=25
P dd =max(K-S,0)=75
0时刻
1时刻
2时刻
7
17.3 美式期权的定价
美式卖出期权价格
《 金 融
2时刻到期、行权价为100元的美式卖出
经 济 学
期权的0时刻价格
二 五 讲 》
P风d 险max中m性ax(概K 率Sd ,0为),1q1=r 0q.P5ud（ (1=(q1)P.d2d 5-0m.a5x)/5(02,3-00 .55)0）
1 2
1
1 2
1
3
2 3
G=0
G=1
G=2
R=0
0
0
0
V(20,20)=2.296——赌局RR中==12 退出期12权的价值14//23
0 2/3
6
17.3 美式期权的定价
参照物：欧式卖出期权
《 金 融
模型设定
经
济 学
2期二叉树模型（有0、1、2三个时刻）
二
五 讲 》
0时刻的股价为100元
式
14
18.4 BLACK-SCHOLES公式的鞅方法推导
债券与股票价格的积分表示
《
金
债券 融
经 济
学
二
五
讲
》
配
套
课
件
d (log
Bt )
1 Bt
dBt
1 Bt
rBt dt =rdt
T
T
t0 d (log Bt )
rdt
t0
log BT log B0 rT
BT B0erT
d (log
Vsd
11
17.4 按揭贷款定价
按揭贷款的二叉树定价：数值算例
《
金
融
经 济
条件设定
学
二 五
风险中性世界中，每一期市场利率（也是无风险利率）有1/2的概率
讲
》 配
变为原来的2倍，有1/2的概率变为原来的1/2
套
课 件
0时刻，市场利率为4%
按揭贷款总额为100，在1时刻和2时刻分别偿还50
0时刻是贷款的发放日，借款人不偿还本金和利息
学 二
按揭贷款还款方式
五 讲
等额本金还款法：购房者在贷款期限内每月还相同比例的本金
》
随着时间推移，月本息还款额逐月下降（每月相同的本金偿付额再加上逐步
配
下降的利息支付额）
套 课
等额本息还款法：购房者每月向银行的还款数额（本金和利息的支付
件
之和）都一样
随着时间推移，未还清本金越来越少，所需支付的利息也越来越少，每月本 息偿付中的本金支付就越来越多——本金在一开始还得比较慢，而后还得越来 越快
1 2
2
T
T
t0 dzt
S S e T
0
15
18.4 BLACK-SCHOLES公式的鞅方法推导
从真实世界到等价鞅测度的变换
《
金
融
经 济
学
根据对数正态分布的性质
E ST S0eT
二
五
讲
》
配 套
由于这是在真实世界中计算的期望，所以股票价格不符合鞅性
课
件
E(ST)≠S0erT
E%ST S0erT
配 套
摸出红球赢1块钱
课 件
摸出绿球输1块钱
参与者可以随时选择停止赌局
如果一直不停止，则赌局在所有40个球被摸出后结束
问题
参与者从赌局中能获得的期望支付是多少？
参与者是否应该参与这个赌局？
如果参与赌局，应该在什么时候（什么状态）选择停止？
3
17.2 最优停时的计算思路
逆向递推求解
《
等价鞅测度中求期望（续）
《
金
融
经 济
求取期望
学
二
五
讲
》
配
套
课
件
E%maxST K, 0
eabu K
e du 1
1 2
u
2
U
配 套 课 件
美前式行卖权P0 出11期r q权Pu 只(1可q)P能d 在1.125股0.价50下 0跌.5到50 5200元时提
美式卖出期权
S=400
S=200
P uu =max(K-S,0)=0
S=100
P u =0
S=100
所以 P 0 =20 S=50
P ud =max(K-S,0)=0
如前果时不刻存应在付提本前 息还 后 1款 ，1rs 的 剩qr选 余Bt 择贷Bt ，款Bt1 则的Vsu借现 (1款值 q)人（rB在在t Bsst 这节Bt1点个Vs处节d 的点现偿值付）了当
Vs
min
Bt
,
1
1 rs
q rBt Bt Bt1
(1
q) rBt
Bt
Vsu
Bt1
P d =max{max(K-S,0),E[P]}=50 行权
S=25 P dd =max(K-S,0)=75
0时刻
1时刻
2时刻
8
17.4 按揭贷款定价
按揭贷款简介
《
按揭贷款（mortgage loan）：购房抵押贷款——购房者将所购房
金 融
屋的产权抵押给银行，向银行借入房款支付给卖房者
经 济
首付（down payment）：购房款中购房者自己支付的部分
符号
Bt：每时刻本息偿付之后，剩余的未偿付贷款本金 B付t-1本-B金t：减每去时这刻一按时贷刻款的合剩同余规未定偿需付要本偿金付）的本金数额（等于上一时刻的剩余未偿
͞rBt-1 ：每时刻借款人的利息支付 ͞rBt-1+Bt-1-Bt ：每时刻的本息总支付
10
17.4 按揭贷款定价
按揭贷款的二叉树定价：递推式
St )
1 St
dSt
1 2
1 St2
(dSt )2
dt
dzt
1 2St2
St dt
Stdzt
2
dt
dzt
1 2
2dt
1 2
2
dt dzt
股票
T
t0 d (log St )
T t0
1 2
2
dt
T
t0 dzt
log ST log S0
1 2
2
T
T
t0 dzt
逆向递推：如果盒中只剩一种颜色的球
只剩红球，参与者肯定摸球：V(R,0)=1+V(R-1,0)
只剩绿球，参与者肯定不摸： V(0,G)=0
4
17.2 最优停时的计算思路
逆向递推求解（续）