与矩形相关的折叠问题金山初级中学 庄士忠 201508将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。

折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。

下面从几个不同的层面展示一下。

一、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．解析：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG=∠FEC=58°， 再由折叠可知，∠FEC=∠C ′EF=58°，由此得∠BEG=64°例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。

二、求线段长度例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34（B ）33（C ）24 （D ）８解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt △ADE 中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x ，则FC=x -33， 在Rt △EFC 中由勾股定理求得x=32,则EF=32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF=34。

故选A 。

A B CD E FA B E C D F G C ' D '分析：在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决。

三、求图形面积例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cm解析：折叠后重合部分为直角三角形，其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 －两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）。

故选B 。

分析：可以用动操作加强感性认识，注意重叠部分的计算方法。

四、说明数量及位置关系例5、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ． 证明：（1）BF DF =．（2）AE BD ∥． 分析：（1）欲证明BF=DF ，只需证∠FBD=∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。

由折叠可知DC=ED= AB ， BC=BE= AD ，又因为AE=AE ，得△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB=∠EAD ，所以∠AEB=21（180°-∠AFE ），而∠DBE=21（180°-∠BFD ）因此AEB DBE ∠=∠。

解：（1）由折叠可知，∠FBD=∠CBD因为AD ∥BC ，所以∠FDB=∠CBD 所以∠FBD=∠FDBBF DF =∴（2）因为四边形ABCD 是矩形 所以AB=DC ，AD=BC由折叠可知 DC=ED= AB ， BC=BE= AD又因为AE=AE 所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB=∠EAD ，所以∠AEB=21（180°-∠AFE ），而∠DBE=21（180°-∠BFD ），∠AFE=∠BFD所以AEB DBE ∠=∠ 所以AE ∥BD五、判断图形形状例6、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

A B CD E F（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。

（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。

分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。

问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。

另外，还可以从另一个角度分析。

由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。

这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。

问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。

因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。

下面的这个题目就是用这个思路解决的。

大家可以尝试一下。

例7、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。

（1）找出图中全等的三角形，并证明。

（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。

（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。

分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF 垂直平分BD ，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。

利用这些条件易证明△EO D ≌△BOF ，则有ED ＝BF ，且E D ∥BF ，首先四边形EBFD 是平行四边形，由于BD 、EF 互相垂直，所以就可说明四边形EBFD 是菱形。

例8、如图，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．(1)试判断△MEF 的形状，并说明你的理由；(2)如图，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并说明你的理由；(3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．分析：（1）由折叠可知 ∠MFE=∠EFB ，再由 ∠MEF=∠EFB 得∠MEF=∠MFE ，所以 ME=MF ，因此△MEF 为等腰三角形；（2）由（1）ME=MF ，同理MF=NF ，所以ME=NF ，再由ME ∥NF 得四边形MNFE 为平行四边形（3）若四边形MNFE 是菱形，则ME=EF ，由ME=MF 得ME=MF=EF ，△EFM 是等边三角形，所以∠MFE=60°，由折叠知∠BFE=∠MFE=60°。

解：（1）△MEF 为等腰三角形理由：因为 AD ∥BC所以 ∠MEF=∠EFB 由折叠可知 ∠MFE=∠EFB 所以∠MEF=∠MFE所以 ME=MF 所以△MEF 为等腰三角形 （2） 四边形MNFE 为平行四边形 理由：因为ME=MF ，同理NF=MF所以 ME=NF 因为ME ∥NF所以四边形MNFE 为平行四边形（3） 60。

说明：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题。

由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系。

六、综合运用例8、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

已知折叠CE =3tan 4EDA ∠=。

（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

解：（1）OCD △与ADE △相似。

理由如下：由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠，又90COD DAE ∠=∠=∵°，OCD ADE ∴△∽△。

A B C E F D A ’ B ’ A B C E F D A ’B ’ D ’C ’ M M N（2）3tan 4AE EDA AD ∠==∵，∴设AE=3t ，则AD=4t 。

由勾股定理得DE=5t 。

358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。

由（1）OCD ADE △∽△，得OC CD AD DE =， 845t CD t t =∴，10CD t =∴。

在DCE △中， 222CD DE CE +=∵，222(10)(5)t t +=∴，解得t=1。

∴OC=8， AE=3，点C 的坐标为（0，8），点E 的坐标为（10，3），设直线CE 的解析式为y =kx1038k b b +=⎧⎨=⎩，∴，解得128k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，182y x =-+∴， 则点P 的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l 有 2条：y =－2x +12，y =2x －12 总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！。