初中数学专题：折叠问题
专题八折叠问题
学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。
基本图形：折叠至△FBE,可得何结论？在矩形ABCD中，将△ABF沿BE
）垂直结论：）全等；（
1）基本图形练习：（
A，展开纸片；再次折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得 AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗？EF,和D点重合，折痕为展开纸片后得到△
2）折叠中角的考法与做法：（的直线（图1E）；再沿过点处，折痕为落在沿过点将矩形纸片ABCDB的直线折叠，使得ABC边上的点FBE a）中角的大小。
3,2EGDBED折叠，使点落在边上的点'，折痕为（图）再展开纸片，求图
（
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初中数学专题：折叠问题 3）折叠中边的考法与做法：
（
边中点E处，D6cm的正方形ABCD折叠，使点落在AB 如图，将边长为，则△EBG的周长是多少？处，EQ与BC交于点G折痕为FH，点C落在Q
★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。
模块精讲1.例点处．落在CD边上的P2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B
（
．、OA，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP（1）如图1 PDA；①求证：△OCP∽△的长；1PDA的面积比为：4，求边AB②若△OCP与△OABP恰好是CD边的中点，求∠的度数；2（）若图1中的点
不重与点MP、A在线段，连结，擦去折痕3（）如图2，AO、线段OPBP．动点MAP上（点在
移动F于点，作ME⊥、NMEBP于点．试问当点PBMNBN=PMABN合），动点在线段的延长线上，
且，连结交的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段过程中，线段EFEF 的长度．
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初中数学专题：折叠问题
2.例在矩AFE，且点FADE沿AE折叠后得到△的中点，将（2013?苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E是边CD△
G．若=，则用含k=的代数式表示）．BC形ABCD内部．将AF延长交边于点
例3、（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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初中数学专题：折叠问题CD，上的点E重合，折痕FG分别与AB、例4如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD ．AE与FG交于点O交于点G，F，，E，F四点围成的四边形是菱形；1（）如图1，求证：A，G N是线段BC的中点；22）如图，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点（的长．）的条件下，求折痕FG2（3）如图，在（2
FB关于AC对称，点E与点，射线⊥，ABAD，点E，点F分别在射线ADBC上．若点E与点∥例5、已知ADBC
）与关于BD对称，ACBD相交于点G，则（
21+tanA．∠B．ADB=2BC=5CF
6∠AGB= D．4cos =C．∠AEB+22°∠DEF
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课堂练习、1，展开后再折叠一次，2EF．如图AB与CD重合，折痕为2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使．∠ANE=_________于M，EM交ABN，则tan使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点
4 图图3
处，折痕B，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC _________°．为DE，则∠CBE=
、上的点AF处，若，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC44、（2014?扬州）如图，△ABC 的中位线DE=5cm2 cm．8cm，则△ABC的面积为_________F两点间的距离是
上的一动点，BCCD=1，BC=m，P为线段B=90°1、（2013?扬州）如图，在梯形ABCD中，AB ∥CD，∠，AB=2，5 BP=x，CE=y．交，过P作PE⊥PACD所在直线于E．设不重合，连接且和B、CPA 的函数关系式；与x（1）求y 的取值范围；上运动时，点BCE总在线段CD上，求m）若点（2P在线段长．，求△PEC△沿PE翻折至PEG位置，∠BAG=90°BP，将，若）如图（32m=4
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课后巩固习题
重合，展开后折痕DA与点BAC，将△ABC折叠，使点1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠AEDF．求证：四边形是菱形．，连接DE、DF分别交AB、AC于点E、F
BC出发沿E从点BAB=10B=90°，且，BC=6，CD=2．点ABCD2、（2013?宿迁）如图，在梯形中，AB∥DC，∠AD、EG分别交所在的直线折叠得到△GEF，直线FG沿AD方向运动，过点E作EF∥交边AB于点F．将△BEFEF ．与梯形ABCD的重叠部分的面积为y△EG，当过点D时，点E即停止运动．设BE=x，GEFM于点、N 是等腰三角形；）证明△AMF（1 ）），求x的值；）当EG过点D时（如图（32（的最大值．xy表示成的函数，并求y3（）将
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初中数学专题：折叠问题C'D于点ADG,E,F,分别是C落在C'处,BC交使点中3、如图,在矩形ABCD,AB=6,BC=8,把△BCD沿着对角线BD折叠,. 重合恰好与点A处,点D'落在H,把△FDE沿着EF折叠,使点DD'于点线段和BD上的点,EF交ADC'DG ABG≌△1）求证:三角形（的值；tan∠ABG（2）求的长。
3）求EF
（
3、
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