第五章定积分一、基本内容(一)基本概念1.定积分的定义:设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2 <••• < x n_^ < x^ b .把区间［a,b］分成n个小区间［x ij X i］称为子区间，其长度记为△X i =X i —X i」(i =1,2，…,n)在每个小区间［X i^X i］上任取一点q(X i」＜X i)，得相应的函数值f(E i)，作乘f GM X i (i =1,2,…,n)把所有这些乘积加起来，得和式nZ f(©i)心X i，i =1如果不论区间［a,b］分成n个小区间［X i」,X i］的分法如何及点©怎样取法，当分点无限增多(记作n T K)而每个小区间长度无限缩小(h=max{A x i}T 0)，此和n式的极限存在，即设I “im S f^JA X i，贝U称函数f(x)在［a,b］可积，并将此极b限值I称为函数f (X)在［a,b］上的定积分。

记作/ f (x)dx，即L aa f(x)dx=i f G)i X i.(二)定积分的计算1.变上限积分X定义如果函数f(x)在［a,b］上连续，则①(x) = J f(t)dt, xFa,b］是积分上限XaX的函数，称f f(t)dt为变上限的定积分.“a2.牛顿-莱布尼兹公式设函数f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则b baf(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) .3. 定积分换元积分公式设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有b Paf(x)dx =『 伴(t))®'(t)dt在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则bbau(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分-be b 驭a f(x)dx. blim f f (x)dx .c a ^If g dx +J %! f (x)dx .2 .无界函数的广义积分(1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 UX —j a十b baf(x)dx =绞^+［七f(x)dx .⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝UX —j b —bb一名［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3)设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X TbCb［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dxc Yb=lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx .二、练习题5. 1计算下列定积分：丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX⑴［f(x)dx=bb (2) J f(x)dx =a 二-be⑶ Lcf(x)dx =b- av(x)du(x).1dx上 2”e%x.所以原式=-In | e 」+ Je^x -1『2 +山—e 2x (4) 『|sinx - cosx| dx .JI解：原式 =『(cosx - sin X)dx + g(sin x - cosx) dx4=sinx]# +cosx|4-cosx|2—sinx|24=返+2^_1+返 _1+返=2(血-1).2a⑸ Lx[f(x) + f(—x)]dx.aa解：原式=L xf (x)dx + xf (-x)dx ,解：原式= "2COS 2|f\sec 2xd- 今 2 2解：原式=f 6 dx= .016J x + 9 詈 |(2|063x 2 16j xdx+[于 dx|?=12.16解 :原式上21 -e 2xJn 2J 1 - e 2x_ln 2 dx= 0= dx- 訴-e 2xJn 2e2x兀_x edx£上2 de 2xL 2xP 1 -e上2 de^J e ^x _1丄 1 /n2d(1-e 2x )2^由于dx=In | X + J x 2 -1 | + C .『2 —In(2+7l)+¥XCM_xL| —co I 00+ co u」X—L)Xpx+L +CML | CM+ co _cL | COIIL I oq oT —X-I CM+ -1 CM+CO _c-I 00II■ I00IIXCMXCM VX L I CJ_P¥3n-x —L3X—L。

二X」I— 2- u- X — H xp u -」I H 怔蛍赶 X —LZ心 Lg x+L ZL;X + L 电 L牛陲炬 L LL•xpx丄X+L0-;U一X I(6)叱1U_S2—w +触 0:丄s u一寻—2iTJL+X)P+ L +xfxp9ELIT——+——EL H S S 8 Je —g二S 8& +ifZL『二 U_SZ1Hlu 一S y乙H1P1S8H w疤irA i-19S 8Hxp」u一S H Xfg- I H一」 如•xpz(x」-xg — y 一 xgHXP(x —)QzL * zL+ XPXJHir-xp(xs8)u6sx7(9) •O Hxp(x 二X 」— xp(x)」x」H e e5432"C\ 2 7x +x -X +5x -x-2 , (10) L -------------- 2 ---------dx. 21 +X2 解：原式=f 534 2 2 7x —x — X . 2 x +5x -2 , ------ 2——dx + f •N 1 +x 21 +x2 dx =0+ f X 2(X 2+1)+4(X 2+1)—6 / 2 1 +x dx fx 2dx + 4 f dx -6f 匕 工 匕1 +x 21 32 2=—x |_2 +16-6arctanx^ 3 64=一 -12arctan2. 3 2n 兀(11) 0 | sinx|dx. 解:原式 =0〕sin x| dx +「|sinx | dx + [I 16 =—+16 - 12arctan2 3 2；! 兀 =n [ sin xdx = n[ 0 sin xdx + J ■兀 一 - n 兀^兀 2n 兀 |sin X I dx + …+ [ I sin x | dx +…+ f | sin x|dx I '^兀 '(2n 」)兀 I I2；l ■Tj - 2 吓 sin xdx] = n[-cosx |0 -cosx |兀]=4n . 2r . 2 ^dr -r 41 2 ，r . 2 =dr r 4dr 2詁 d(1-r 4) 01 1=1 arcsi nr 2 |02 +1 丿1 - r 4 |02 2 2兀丄1= + ——124 2(1 + X 2 x 5.2设 g — x<0 >0 ', 3 求[f(X -2)dx . 解: 「1 +(x —2)2,X C 2 f(X -2)=A ),X .2 J x 2-4x +5,x c 2[e 2, x>2-be ⑷T+x 2严dx231所以原式=1(X 2-4x +5)dx+=(-x 3-2x 2+5X )|23-6 +5-3 -1) =4-e 」 3 35.3判断下列广义积分的敛散性：/ 八 尹arctanx ,(1) 1 ——2一dx.1X解：原式parcta nx=lim ----- 2—x 2所以原广义积分收敛.2dx=g |n g-s+1)-|im[(2-g )In(2-g ) -(2-g )+1] =2-21 n2.所以原广义积分收敛.|3■ arctanxd 1 = - lim arc t an x 1 x J 乂兀. -+ lim [(-- 4 —3 Xb.1x 、.k)dx+b ^lnx bJ 1 +x 21dx2解：原式=f12 L1Xrd 1xx1 2J I J I J L=-arcsi n — L = + — =一所以原广义积分收敛.-^-^dx. -x 1-S 1 ln --- 21 -x 21—&-lim .f [ln(1-x) +ln(1 +x)]dx EH P f1Y 1 —E=lim +[ ln (1 -x)d(1 -X)— lim +[ ln (1 +x)d(1 +x)1(3) l ln11-Z -x 2)dx =㈣丿(1 - x) In(1 - X)- (1 - X)] I 严 -lim 』(1 + x) ln(1 + x) -(1 + X)] |0Y1 nn m 石 O 1^ln(1原式=lim ——n 护 12專解：原式=2・0 E2<2时=2b^arctanxi 0"所以原广义积分收敛.5.4计算下列极限：1 1 1(1)lim(——+ --------- +…+ ------- ),(aH0).n + a n +2a n + na解: 1 1 1 原式=lim —( ----- + n1+2a n 解:+… 1 + ------ 1+nan )=lim 丄送 F n y 1 1+丄a n 0^^dx'01 +ax 1 =—In(1+ax) |0 a1 x n exn^El|n(1+a).a 原式 =lim [-- x_ dx=lim fx ndx-lim f - n Tc O1 + e x n 今疔0 n Tcr O [1 +e 1 n1< lim [ X dx = lim--- —Lc 0 —pe n +1=0, 1x n又由原式lim [ n 今ic 0d n x 1x e c —dx>0 , 1 +e x 所以lim fn ^pc O. n x1x e , c --- dx =解: lim -x Y i 原式 x X ,2-el e dt • =limx —Jpcx t 2x 2e dt + xe -2xe x'x 2丄 x 2丄 c 2 x 2e +e +2x e .=lim ------ 2----- - = -1 . -2e -4x e解:1=lim = 2 . n ^C12妬X2[f(t)dt ⑸设 f (X)连续，f(0)=0, f'(0)H0,求lim —T x2J0f(t)dt解: 原式X2•0 f(t)dt ______=lim --- x----- = lim ---- x-------------- = limTx2(f(t)dt 72X[ f(t)dt + x2f(x) T2xf(X2) 2f(x2)24xf \x )5.5 证明: 解:I n 『COS3f(x) +xf(X)『cos n xsin nxdxxsin nxdx 二-1nX2.0 f(t)dt +xf(x)4f(x2) x m03 f(X)-f(0) +x-0f'(x)1 2 22 23 ^75^-+一+一+ ■■■ + 2川12 3cos n xd cos nx=--[cos n2n—).nlim4「(x2)4「(x)j[ xxcosnx^ +『n cos n」xcos nx sinxdx]1 -『cos n」X cosnx sinxdx .又因为:JII 2 =『cos^xsin(n - 1)xdx=『cos 2 Xsin nx cosxdx -『n」. 1cos xcosnxsin xdx =l n -『cos^xcosnxsinxdx.所以I n 显然I11 1=—一I n 中I n」，即I n—― I n4 n 21=-，则有递推得：22n2n +…J2n1 (2+21 二•斗.1 2 3 n2时5.6设® (x)为可微函数y = f(x)的反函数，且f(1)=0,证明:1 12 1 11 1所以 B = [ f (x)dx = L X dx — A L xdx + 2B[dx = — 一一 A +2B ，3 2 2 2 2 2 28A= [ f(x)dx= Lx 2dx-A[xdx + 2B [ dx =--2A + 4B ，0 34 1联立上两式解得A =E ，B =3.所以 f(x)=x T x +2.xt 21 f(x) 10[0 半(t)dt]dx=2 0xf(x)dx . 人 f （X ）证明：令 F （X ）=[ 巩t ）dt ，则 F '（X ）=w （ f （X ）） ”f '（X ）= xf'（X ），F （1） = 0. 、” 1 1 1 2 所以 0[ 0 护(t)dt]dx = 0F(x)dx=xF(x)|0 — [x 2f '(x)dx 1 f (x)1 2 2 1 1= —[xdf(x)=—x f (x) |o +2Lxf'(x)dx 1 =2 0xf (x)dx. 5.7 设 f(X)= x 22 1 -x 0 f (x)dx + 2 [ f (x)dx ，试求f （X ）. 2解：设 A =[ f(x)dx,1B = If(x)dx ，贝U f(x)-X2- Ax +2B. 5.8求常数a,b 的值,使lim 丄丘忆=1X T bx —sin XJ a +tJ a + x 1，- x 2解: lim ———- = lim ~~ =〒 lim —xTbx-s inx xTb-cosx JaTb-cosx=1.所以b=1,此时原极限 =-^lim —$ X T 12-X 2= ___ =1石，所以a =4.5.9设函数 Xf （X ）在（=，母）上连续，且 F （x ） = （（X-2t ） f （t ）dt ，证明：（1）如果f （X ）为偶函数，则F （x ）也为偶函数；（2）当x ＞0时，如果f \x ）＜ 0 ,则F （x ）＞0.1_x证明：(1) F(—X)= 0 (―x-2t)f(t)dt ，令 t = —u, dt=—du. 所以：xXXF(-x) = -[(-X +2u)f(-u)du = L(x-2u)f(-u)du = [ (x-2u) f (u)du = F(x)即如果f(x)为偶函数，贝U F(x)也为偶函数.XXX(2) F(x) = ( (x-2t)f (t)dt =xL f(t)dt-2 Ltf(t)dt .XXF '(X)= t f (t)dt 中 xf(X)-2xf(X)= [ f (t)dt -xf(X)= xf (◎- xf (x), 0 < © < x5[X, [0,1]5.11 设 f (X) ={l O, X A 1,X c O的表达式.解军：0兰X —t 乞1,贝U t 兰X <1 +t . 所以当 21,t<-1 时，F(t)=0 ；1当一1<t <0时，F(t) = t xdx = ?(1 +t)2；因为 f(x)<0，则f (x)单调递减，所以 所以 F(x) >0.证明：[◎cos " 证明:令2x -t ，2H JI 『Si n n 2xdx = Q s in25.10 xdx -『si nn2xdx.则 dx = _2dt .才t)(-訥 _1 ~2 J ；J ；cos ntdt1 0=-[\兀cos ntdt +『cos ntdt]，对 J 兀cos n t nu 0 n丑 n= kcos n ud(-u) = J 2 cos n udu .~2—1 0所以 f 2sin n2xdx = — [「 p 2 - n兀COStdt + fcosHdt] =f 2cos nxdx.*0=10 X "[0，1]0,求 F(t) = J ：f(x —t)®(x)dx l O, X A 1, X < 0 N1 2-(1 +t)2, -1 C t c O21 2-(1 -t2), 0 <t c125.12设f (x)在［a,b］上连续，且f(x)>0，证明:f b f(x)dx {-^dx >(b -a)2 . •a a f (x)方法一:x x 1 2证明：令F(t)= [ f (t)dt 订帀dt-(x-a)，贝U F(a) =0=J：晋dt十a x攜dt -2(x - a T (咼+fS)dt -2(x -a). 由题意f(x)>0，所以［畫+需心升2—).即，因此F(x)在［a,b］上单调递增，F(b)>F(a) = O.b b 1 2所以 f f(x)dx 订 ---- dx>(b-a).'a f (x)方法二：证明：根据柯西施瓦兹不等式即得:5.13 解: 由于b b 1f f(x)dx - f---------a a f(x)2 .X Sin xxdxX[J b f(x) f^dx]a f(x)设f(x) = / Sin^dx，计算J xf (x)dx.1 x 01 1 1 212 1J0xf(x)dx = .0 f(x)d(2X ^-x f (x) |0= (b-a)2.1 2.0x f'(x)dx.sin xf(X)= 1 ——dx，则 f (1) = 0，f '(X)=2x1 xx2・ 2Sin x2~x,t >1,t < -1・ 2所以，上式[xf (x)dx =—丄 1 X2= 一[xsinx2dx2 X1 1 . 2.2 1 2 .1 1 .1=—-fsinx dx =-cosx |0= -cos1—-.2 0 2 2 25.14 设W(X)= 0 In(1+t)dt 和屮(x)= farcsintdt .证明：当X T0 时W(x)是屮（X）的等价无穷小.证明：iim迪十匚g = ,lmF^」lm_.T屮(x) T 卫I0 1 2 J0 X『arcsintdt 2*93n x 3所以,当X T 0时护（X）是屮（X）的等价无穷小.1 1 X5.15 设g(X)处处连续，且g(1)=5, ，0g(t)dt=2 , f(x) =? .0 (x-t)2g(t)dt，求f ”⑴，厂（1）. 解: X Xf (x)珥(X —t)g(t)dt， f "(X)= 0 g(t)dt，f「x) = g(x).所以1f“(1) = .0g(t)dt =2,「(1)=g(1)=5.5.16X设f（X）连续，F（X）= 0 f （t） f '（2a -t）dt，求证:F(2a)-2F(a)= f 2(a) — f (0) f(2a).2a证明：F(2a)-2F(a) = .0af (t)f'(2a —t)dt -2_0 f (t)f '(2a— t)dta 2a a「0 f(t)f'(2a-t)dt + a f(t)f'(2a-t)dt-2^ f (t) f'(2a-t)dt2a af(t)f'(2a-t)dt - J f (t)f'(2a-t)dta 02a[f(t)df(2a-t)-0 f(t)f'(2a-t)dt2a 2a a=—f(t)f(2a-t)|a +[ f(2a—t)f'(t)dt-J0f(t)f(2a—t)dt22a a=f 2(a) - f (0) f (2a) + a f(2a -t) f'(t)dt - 0 f(t)f '(2a -t)dt.对于：2a2a_L Y 0 aL f(2a-t)f(t)dt = [ f(x)f'(2a-x)(—dx) = [ f(x)f'(2a-x)dx.所以 F(2a)-2F(a) = f 2(a)-f(0)f (2a).5.17设f(x),g(x)在［a,b ］上连续，,试证：至少有一点c"a,b)，使b cf(c) c g(x)dx =g(c) a f (x)dx 成立.caxb证明：令 F(x) = a f(t)dt [g(t)dt,则 F(a) = 0,F(b) =0. 根据题意，有罗尔定理，3c €(a,b)，使FYc)=0.bcF '(c) = f (c) c g(t)dt -g(c) a f(t)dt =0bcf(c)[g(x)dx = g(c)[ f (x)dx .x 2t 2设 F(x) = [ e dt ，试求：F(x)的极值;F "(X)=0，得 X =兰丰4 . (2) F&) =2e~x -8x 4r ,4=-2(4x 4 -1)e 』=-2(2x 2 +1)(72x + 1)(72x -1)e 7".所以 5.18 (2) 曲线y = F(X)的拐点的横坐标; (3)x 2F \x)dx 得值.亍)时，yx)〉0,当 X “ -- ，七4 时，F"(x)v0.2所以x =± —是拐点，拐点的横坐标为-23 4 334dx = 2[期 dx + [ X e 」dx]测验题1.填空:1解答：令.0f(t)dt=A ，贝U f(x)=x+2A ，所以：当X 亡(=,一吕)时，F3)<0,3 2F (x)dx = J/X 4 ”2xe = 2[0 + 1 "23 3y 4 3 3y 4f x e dx] = 2 f X e dx41 _x 4.3 1 , 46 _81 \=2。