第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念．定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．例如在(1，+∞)内,［ln(x）］′(1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2，故ln(xln(x）的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个．关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论．定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有F′（x)=f(x)．这个结论告诉我们连续函数一定有原函数．我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理：定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式．定理需要证明两个结论：(1) F(x)+C是f(x)的原函数；(2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．证 (1) 已知F (x )是f (x )的一个原函数，故F ′(x )=f (x )． 又［F (x )+C ］′=F ′(x )=f (x ),所以F (x )+C 是f (x )的一个原函数．(2) 设G (x )是f (x )的任意一个原函数，即G ′（x ）=f (x ),则有［G （x )-F (x )］′=G ′(x )-F ′(x )=f (x )-f (x )=0．由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故G （x )-F (x )=C ,即 G （x )=F (x )+C ．由定理2知，只要找到f (x )的一个原函数F (x )，就能写出f (x )的原函数的一般表达形式F (x )+C (C 为任意常数)，即f (x )的全体原函数．二、 不定积分定义2 设F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全体原函数F (x )+C (C 为任意常数)称为f (x )的不定积分，记作()f x ⎰d x ，即()f x ⎰d x =F (x )+C ， （5－1－2）其中，∫称为积分号，f (x )称为被积函数，f (x )d x 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．例1 求x ⎰d x ．解 由于(212x ）′=x ，故212x 是x 在(-∞,+∞)内的一个原函数， 因此 x ⎰d x =212x ＋C ．例2 求1x⎰d x ．解 由于(ln x )′=1x ,故ln x 是1x在(-∞，0)∪(0,+∞)内的一个原函数，因此1x ⎰d x =ln x ＋C ．例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为d d yx＝２x ， 即f (x )是2x 的一个原函数．因为2x ⎰d x =2x ＋C ， 从而y =2x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1． 于是所求曲线方程为 y =2x ＋１．函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线．本例即是求函数2x 的通过点(1，2)的那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如y =2x ）经y 轴方向平移而得(见图5-1)．图5-1三、 不定积分的性质从不定积分的定义，即可知其下述性质： 由于()f x ⎰d x 是f (x )的原函数，所以有(1)dd x［()f x ⎰d x ］=f (x ), 或 d ［()f x ⎰d x ］=f (x )d x ； 又由于F (x )是F ′(x )的原函数，所以有 (2) '()F x ⎰d x =F (x )＋C ,或记作 d ⎰F (x )＝F (x )＋C ．由此可见，微分运算(以记号d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号⎰表 示)是互逆的．当记号∫与d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数． (3)[]()()f x g x αβ+⎰d x =α()f x ⎰d x ＋β()g x ⎰d x ，其中α，β为任意常数．此性质可以简单地说成：和的积分等于积分的和；常数因子可以从积分符号中提出来，这是一个积分常用的性质。

性质（3）可以推广到任意有限个函数的情形．四、 基本积分表既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式．例如，因为α≠-1时，1()'1x αα++=x α，所以11x αα++是x α的一个原函数，于是x α⎰d x =111x αα++ +C (α≠-1)． 类似地可以得到其他积分公式．下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表． (1) k ⎰d x =kx +C (k 为常数)， (2) x α⎰d x =111x αα+++C (α为常数且α≠-1)， (3)1x ⎰d x =ln ︱x ︱+C ,(4) x a ⎰d x =1ln xa a+C ,(5) e x ⎰d x =e x+C ,(6) cos ⎰d x =sin x +C , (7) sin x ⎰d x =-cos x +C ,(8) 2sec x ⎰d x =2d cos xx ⎰=tan x +C , (9) 2csc x ⎰d x =2d sin xx⎰=-cot x +C , (10) sec tan x x ⎰d x =sec x +C , (11) csc cot x x ⎰d x =-csc x +C ,(12)⎰=arcsin x +C ，(13)2d 1xx +⎰=arctan x +C ．以上13个基本积分公式及前面的不定积分性质是求不定积分的基础，读者应该熟记．例4 求313()x x x +⎰d x ．解 313()x x x+-⎰d x=x ⎰d x +1x⎰d x -12x ⎰d x +33x -⎰d x=22x ＋ln x -2332x -232x -+C ． 例5 求421x x+⎰d x ． 解 421x x +⎰d x =42111x x -++⎰ d x =221(1)1x x -++⎰ d x =313x －x +arctan x +C ．例6 求2tan x ⎰d x ．解 2tan x ⎰d x =2(sec 1)x -⎰d x =2sec x ⎰d x -dx ⎰=tan x -x +C ．例7 求2sin2x⎰ d x ．解 2sin 2x ⎰d x =12⎰（１-cos x )d x =12∫(1-cos x )d x =12(x -sin x )+C ．应该注意，由于两个原函数之间可以相差一个常数，因此，积分结果在形式上可能不一样，此时可通过求导来验证结果，比如，arcsin .x C =+另一方面，由于(arccos )x '=，所以，arcsin .x C =-+ 这两个结果都正确。

造成积分结果形式不同的原因是arcsin arccos .2x x π+=习题 5-11． 求下列不定积分：(1)25)x -d x ; (2) 2x ; (3) 3e x x ⎰d x ； (4) 2cos2x⎰d x ； (5) 23523x x x ⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x⎰． 2． 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求'()f x ⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P =0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′（P ）=-10001()3Pln 3,求需求量与价格的函数关系．第二节 换元积分法直接利用基本积分表和积分的性质所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的方法．本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用变量代换得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类，分别称为第一类换元法和第二类换元法．一、 第一类换元法我们知道，如果F (u )是f (u )的原函数，则()f u ⎰d u ＝F (u )+C ,而如果u 又是另一变量x 的函数u =ϕ (x ),且ϕ (x )可微，那么根据复合函数的微分法，有［F （ϕ (x )）］′＝f （ϕ (x )）ϕ′(x )． 再由不定积分的定义，得f ⎰（ϕ (x )）ϕ′(x )d x ＝F （ϕ (x )）＋C ＝()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰．于是有下述定理：定理1 设f (u )具有原函数，u =ϕ (x )可导，则有换元公式f ⎰（ϕ (x )）ϕ′(x )d x ＝()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰． (５-２-1)由此可见，如果被积函数具有f (ϕ (x )) ϕ′(x )的形式，那么可令u =ϕ (x )，代入后有f ⎰（ϕ (x )）ϕ′(x )d x ＝()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰．这样，上式左端的积分便转化成了函数f (u )的积分，如果能求得f (u )的原函数，再将u =ϕ (x )代回，就可得到左端的积分F (ϕ (x ))+C ．例1 求2cos 2x ⎰d x .解 被积函数中，cos 2x 是cos u 与u =2x 的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u =2x 的导数，因此作变量代换u =2x ,便有2cos 2x ⎰d x =cos 2x ⎰·２d x =cos 2x ⎰·（２x )′d x ＝cos ⎰u d u ＝sin u +C ． 再以u =2x 代入，即得2⎰cos 2x d x =sin 2x +C .例2 求1d 25x x +⎰. 解 125x +可看成1u与u =2x +5的复合函数，被积函数中虽没有u ′=2这个因子，但我们可以凑出这个因子：125x +=12·125x +·２=12·125x +·(2x +5)′，从而令u =2x +5,便有125x +⎰ d x =12⎰·125x + (2x +5)d x ＝12125x +⎰d(2x +5)＝121u ⎰d u=12ln u +C ＝12ln 25x + +C ． 一般地，对于积分f ⎰ (ax +b )d x ，总可以作变量代换u =ax +b ，把它化为()d f ax b x +⎰＝1a ⎰f (ax +b )d(ax +b )＝1a()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰． 以后，我们还常常用到下列微分公式，读者应熟悉。