第四讲 n 元线性方程组求解上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。

如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ，12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。

当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。

所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。

把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。

（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。

下面我们就给出理论证明.定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为()V U ，则方程组AX b =与V UX =是同解方程组。

证 由第二讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为()V U 时，一定存在初等矩阵k P P P ,,,21Λ，使得()()11k k P P P A b UV -=L 成立记P P P P k k =-11Λ，由初等矩阵的可逆性知P 可逆。

若设1X 为AX b =的解，即1AX b =，两边同时左乘矩阵P ，有111()PAX Pb PA X Pb UX V =⇒=⇒=于是1X 是方程组V UX =的解。

反之，若2X 为V UX =的解，即11112222()UX V P UX P V P U X P V AX b ----=⇒=⇒=⇒=2X 亦为AX b =的解。

综上所述，AX b =与V UX =所表示的是同解方程组.定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的思路，具体方法如下：将方程组的增广矩阵°()A A b =实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法称为高斯消元法。

4.1.1非齐次线性方程组的相容性先写出方程组（4.1）的增广矩阵°A ，然后利用初等行变换将°A 化为行最简形。

°()A A b ==11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L LL°A 的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设°A 的行最简形中构成的单位阵正好在左上角）。

（1）11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换12(1)10000100000100000000n m n c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L M L L M M L M M L...... (4.3) 注意到°A 的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数n ，其对应的方程组如下1122n nx c x c x c =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L L此时原方程组的唯一解已经得到： 12n c c X c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ；（2）11121121222212nnm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换1(1)2(2)1()12(1)(2)2()2(1)(2)()(1)10000100100000000000000r r r n r r r n r r r r r r n r m n d d d c d d d c d d d c +++++++++⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L M M M M M M M M L L L L LM M M L M L... ... (4.4) 注意到°A 的行最简形中不为零的行数为r （<r n ）小于变量个数n .对应的方程组如下 11(1)11(2)21122(1)12(2)2222(1)1(2)2r r r r n n r r r n n r r r r r r r rn n r x b x b x b x c x b x b x b x c x b x b x b x c +++++++++++++++++=⎧⎪+++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为如果把后面n r -个变量12,,r r n x x x ++L 赋予数值后，前面r 个变量12,,r x x x L 的值就被唯一确定，从而得到方程组解X =｛12,,r x x x L ，12,,r r n x x x ++L ｝T .（3）11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换12+1(1)1000010000010000000k k m n c c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L M L L M M L M M L.....（4.5） 注意到°A 的行最简形中不为零的行数是+1k ，但第+1k 行中只有10k c +≠，其余元素全为零。

这就是说°A 的行最简形对应的方程组中最后一个方程是“10k c +=”（10k c +≠），这显然是一个矛盾方程，因而原方程组无解。

根据上面讨论的方程组（4.1）解的3种情况，先给出非齐次方程组的相关定义定理后再详细讨论（4.1）的解。

定义4.1 如果一个n 元线性方程组它存在解，则称方程组是相容的，否则就称方程组是不相容组或矛盾方程组。

比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程组都是相容方程组，而（4.5）所表示的方程组是不相容方程组。

定义4.2 n 元线性方程组经过化简后，方程组中被保留的方程称为有效方程，消去的方程称为多余方程.比如（4.3）式的有效方程个数正好有n 个（相容的有效方程组）；（4.4）式的有效方程个数有r 个，多余方程个数有n r -个（相容的有效方程组）.（4.5）式有效方程有1r +个，多余方程1n r --个（不相容的有效方程组）. 定理4.2（1）方程组（4.1）有唯一解的充要条件是，有效方程的个数等于变量个数； （2）方程组（4.1）有无穷多解的充要条件是，有效方程的个数小于变量个数； （3）方程组（4.1）无解的从要条件是，存在着矛盾的有效方程。

证明（略）定理4.2更加明确了利用高斯消元法如何判断非齐次方程组的解的情况.例4.1 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-422312320432143214321x x x x x x x x x x x x解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形213133213232315111101111021321011013212401454111101111001101011010055500111110010101000111r r r r r r r r r r r r A ----------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=---−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭:12100110101000111r +⎛⎫⎪−−−→ ⎪⎪--⎝⎭这时行最简形所对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+101434241x x x x x x注意到方程组的有效方程个数为3小于方程变量个数4，所以原方程有无穷多解，求解方法如下：先将x 4移到等号右端得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=434241101xx x x x x ，称123,,x x x 是方程组的保留变量，称4x 是方程组的自由变量（可任意取值）。

4x再令x 4取任意常数k R ∈，则得 1234101x k x k x k x k=-⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=⎩ ， ... ... （4.6）或写成 123411011101x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ... .. .(4.7)称k 为方程组的自由未知数或自由元，(4.6) 式称为方程组的通解或一般解；（4.7）称为方程组的向量解.例4.2求线性方程组的解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+-=++=+-53221232312321321321321x x x x x x x x x x x x解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形2131412312432142433214(1)1()721121112131230440121101122235007711211011011001100112002200110011r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----+---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43410001000010101010000001100110000r r r ↔⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭从增广矩阵行的最简形可看出，方程组有效方程数是3，方程组的第4个方程是多余方程，但由于方程组变量的个数是也是3，所以原方程组有唯一解：⎪⎩⎪⎨⎧===110321x x x本例说明当方程组中方程的个数多于变量个数时，方程组一定有多余方程.例4.3 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-+-=++-33221531232432143214321x x x x x x x x x x x x 解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形213132123211232131511054742123305471r r r r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−−→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭:32123210547400005r r --⎛⎫ ⎪−−−→--- ⎪⎪⎝⎭， 行阶梯形所对应的方程组是 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=--=++-504745123244324321x x x x x x x x ， 虽说方程组有效方程有3个，但最后一个方程是矛盾方程，故原方程组无解.例4.4 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=++k x x kx x x x x kx 5221823532321321问：k 取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解。