a2 Y
d4Y dx4
要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等 于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只 有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。
可编辑ppt 7
故可以把这一常数记为－ω2 。
于是有
d 2T dt 2
2T
0
ddx4Y4 4Y0,
4
2
a2
第一个方程的通解为
T(t)C 1sint 为固有频率
简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：
Y x,t 0, x 0或
M
x, t
EI
2
y x,t
x2
0,
x
0或
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
可编辑ppt 11
（3）自由端 弯矩和剪力均为零
M

EI
2 y x2
0
x 0,
Q M EI 3 y 0
可编辑ppt 15
简支梁情形
简支梁的边界条件为
因此有：
x 0 时 Y (0) 0
x
0,
y
0,
t
0,
2
y0,
x2
t
0
x
l,
y
l,
t
0,
2
yl,
x2
t
0
Y ''(0) 0
x l 时 Y (l) 0 Y ''(l) 0
有 BD0 BD0 即 BD0
代入B=D=0
AsinlCshl 0 AsinlCshl 0 即 C 0
eix cosxisinx dx
dx
因此，得到主振动的表达式为
y n x , t A s i n x B c o s x C s h x D c h x s i n n t n
其中 A,B,C,D ,n,n 根据边界条件和初始条件确定。
可编辑ppt 10
常见的边界条件
六个任意数由初、边界条件决定. 典型边界条件: （1）简支（铰支）点
x
x3
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
梁端弯矩为零.
EI
3 y x3
,t k y
,t
,
EI
2 y x2
,t 0
可编辑ppt 12
梁端弯矩与弹性恢复力矩大小相等，但由于前图是
梁右端，端部弯矩方向是规定的正向（转角位移的
正向，逆时针），而恢复力矩与转角位移正向相反，
所以
EI
2 y x2
(l , t )
k
y x
(l , t )
梁端剪力为零
EI
3 y x3
0
可编辑ppt 13
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
频率方程为 sinl 0
特征值为
i
i,
l
i1,2,
Y ' ( x ) [ A c o s x B s i n x C c h x D s h x ]
Y ''( x ) 2 [ A s i n x B c o sx C s h x D c h x ] Y '''( x ) 3 [ A c o sx B s i n x C c h x D s h x ]
可编辑ppt 3
假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称 为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线 方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为 y轴 （向上为正），转角逆时针为正。
可编辑ppt 4
梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y y(x,t)
除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与 截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为
第二个方程是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特 征方程为
4 4 0
可编辑ppt 8
4 4 0
其特征值为
1 ,2 ,3 j,4 j
故上述第二个方程的通解为
Y ( x ) D 1 e x D 2 e x D 3 e j x D 4 e j x
引用双曲函数，可将上述通解改写成
上次课程回顾
• 弦的横向、杆的纵向、轴的扭转振动——波动方程
2 y t 2
c2
2 y x2
——波动方程
y (x ,t) X (x ) Y ( t) C s in c x D c o s c x s in t
其中： C’ 、D’ 、 、 由边界条件和运动的初始条件确定。
Y ( x ) A s i n x B c o s x C s h x D c h x
其中 A, B,C, D 为积分常数。
可编辑ppt 9
shx
ex
ex 2
chx ex ex
性质：
ch2 xsh2 x1
sh00,
ch01
2
ex chxshx
d shxchx, d chxshx
EI
2 y x2
M
又因为
QM, qQ
x
x
4y
则
EI q
x4
上述方程是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程
可编辑ppt 5
自由弯曲振动的微分方程
应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为
q
A
2 t
y
2
将上式代入上面方程，即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程
的普遍形式
2 y t2
a2
4 y x4
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。 前三种称为基本边界条件，后两种为非基本边
界条件。
可编辑ppt 14
在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率 与振型函数之前，先将边界条件中要用到的Y(x)的各 阶导导数列出如下：
Y ( x ) A s i n x B c o s x C s h x D c h x
可编辑ppt 1
第4章 连续弹性体的振动
可编辑ppt 2
4.4 梁的弯曲振动
梁挠曲线的微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10），有纵 向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形
0
其中 a2 EI / A
上述方程是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当 的边界条件求解。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程 的边值问题。
可编辑ppt 6
弯曲振动的微分方程的解
采用分离变量法。假设弯曲振动方程的解可表示为
y(x,t)Y(x)T(t)
将上式代入方程弯曲振动方程，得
1 T
d2T dt2