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2019年高考数学总复习:事件与概率

2019年高考数学总复习:事件与概率1.将一个骰子抛掷一次,设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3,事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4,事件C 表示向上的一面出现奇数点,则( ) A .A 与B 是对立事件 B .A 与B 是互斥而非对立事件 C .B 与C 是互斥而非对立事件 D .B 与C 是对立事件答案 A解析 由题意知,事件A 包含的基本事件为向上点数为1,2,3,事件B 包含的基本事件为向上的点数为4,5,6.事件C 包含的点数为1,3,5.A 与B 是对立事件,故选A. 2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A .恰好有1件次品和恰好有2件次品B .至少有1件次品和全是次品C .至少有1件正品和至少有1件次品D .至少有1件次品和全是正品 答案 A解析 依据互斥和对立事件的定义知,B ,C 都不是互斥事件;D 不但是互斥事件而且是对立事件;只有A 是互斥事件但不是对立事件.3.(2018·广东茂名模拟)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数,则这个数能被4整除的概率是( ) A.13 B.12 C.16 D.14答案 D解析 符合条件的所有两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45,共12个,能被4整除的数为12,32,52,共3个,故所求概率P =312=14.4.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,若从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种,和为奇数的情况有4种,∴P =23.5.从存放的号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:A .0.53B .0.5C .0.47D .0.37答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为:13+5+6+18+11=53,则所求的频率为53100=0.53,故选A.6.(2016·天津改编)甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为( ) A.16,16 B.12,23 C.16,23 D.23,12答案 C解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率P =1-12-13=16.设事件A 为“甲不输”,则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=16+12=23.(或设事件A 为“甲不输”,则A 可看作是“乙胜”的对立事件.所以P(A)=1-13=23)7.(2013·陕西文)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A .0.09B .0.20C .0.25D .0.45答案 D解析 由频率分布直方图的性质可知,样本数据在区间[25,30)上的频率为1-5×(0.02+0.04+0.06+0.03)=0.25,则二等品的频率为0.25+0.04×5=0.45,故任取1件为二等品的概率为0.45.8.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b ,c ,则方程x 2+bx +c =0有实根的概率为( ) A.1936 B.12 C.59 D.1736答案 A解析 若方程有实根,则Δ=b 2-4c ≥0,当有序实数对(b ,c)的取值为(6,6),(6,5),…,(6,1),(5,6),(5,5),…,(5,1),(4,4),…,(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)时方程有实根,共19种情况,而(b ,c)等可能的取值共有36种情况,所以,方程有实根的概率为P =1936.9.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是________. 答案112解析 本题基本事件共6×6个,点数和为4的有3个事件为(1,3),(2,2),(3,1),故P =36×6=112. 10.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________. 答案 0.9解析 方法一:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D ,而事件D 包含事件A 与B ,所以P(D)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.方法二:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D ,由题意知C 与D 是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.1=0.9.11.(2018·江苏苏北四市调研)从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取两个数,则所取两个数的和能被3整除的概率为________. 答案 13解析 从六个数中一次随机地取两个数,有15种等可能的结果,而所取两个数的和能被3整除包含5种结果,即(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5),∴所取两个数的和能被3整除的概率为515=1 3.12.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.答案(1)0.27(2)0.24解析(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.13.下表为某班的英语及数学成绩,全班共有学生50人,成绩分为1~5分五个档次.例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人,数学成绩为5分的共5人.设x,y分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x=4(2)x=2的概率是多少?a+b的值是多少?答案 (1)725,750,710 (2)15,3解析 (1)P(x =4)=1+0+7+5+150=725;P(x =4且y =3)=750,P(x ≥3)=P(x =3)+P(x =4)+P(x =5) =2+1+0+9+350+725+1+3+1+0+150=710.(2)P(x =2)=1-P(x =1)-P(x ≥3)=1-110-710=15.又∵P(x =2)=1+b +6+0+a 50=15,∴a +b =3.14.(2018·辽宁六盘山高级中学一模)某中学有初中学生1 800人,高中学生1 200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a 的值;(2)试估计该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数;(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,求至少抽到1名高中生的概率. 答案 (1)0.03 (2)870 (3)0.7 解析 (1)由题意得a =0.03.(2)∵初中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020+0.005)×10=0.25. ∴所有初中生中,阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1 800=450人. 同理,高中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35, ∴所有高中生中.阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1 200=420人. ∴该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450+420=870.(3)由分层抽样知,抽取的初中生有60名,高中生有40名.记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽到1名高中生”为事件A.初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×60=3.高中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×40=2.记这3名初中生为A 1,A 2,A 3,这2名高中生为B 1,B 2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,所有可能的情况有C 52=10种 其中至少有一名高中生的情况有C 52-C 32=7种 ∴所求概率为710=0.7.15.(2018·四川成都一诊)已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每百游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n ∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n ∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n ∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n ≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据.(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出a ,b 的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率. 答案 (1)15,12,120(百人) (2)310解析 (1)由题图知游客人数在[0,100)范围内共有15天,∴a =15,b =1530=12.游客人数的平均数为50×12+150×13+250×215+350×130=120(百人).(2)设A 表示事件“2天遇到的游客拥挤等级均为‘优’”.从5天中任选2天的选择方法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个基本事件,其中事件A 包括(1,4),(1,5),(4,5),共3个基本事件,∴P(A)=310.即他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为310. 16.(2017·课标全国Ⅲ,文)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率. 答案 (1)0.6 (2)0.8解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃.由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y =6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y =6×300+2×(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20 ℃,则Y =6×200+2×(450-200)-4×450=-100. 所以,Y 的所有可能值为900,300,-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为36+25+7+490=0.8,因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.1.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件:①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球.中的哪几个( ) A .①② B .①③ C .②③ D .①②③答案 A解析 从口袋内一次取出2个球,这个试验的基本事件空间Ω={(白,白),(红,红),(黑,黑),(红,白),(红,黑),(黑,白)},包含6个基本事件,当事件A “两球都为白球”发生时,①②不可能发生,且A 不发生时,①不一定发生,②不一定发生,故非对立事件,而A 发生时,③可以发生,故不是互斥事件.2.(2013·江西)集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16答案 C解析 从A 、B 中各取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种情况,其中和为4的有(2,2),(3,1),共2种情况,所求概率P =26=13,选C.。

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