小振动，U(r)与U(a) 差别不大，在平衡位置泰勒级数展开：
3 1 d 2U 1 d U dU 2 3 U ( r ) U a r a 2 r a 3 r a ...... 2 dr a 6 dr a dr a
A 2 1 2 2 Mm 2 1 2 O 2 Mm
1 2 16 Mm qa 2 2 1 2 ( M m ) ( M m ) sin 2 ( ) 2 1 2 1 2 16 Mm qa 2 2 1 2 ( M m ) ( M m ) sin 2 ( ) 2 1 2
与单原子一维晶格类似：上述方程具有下述格波形式解
2n i q a t 2
u2 n Ae
Ae
i ( qnat )
u2 n1 B' e
2n i q( )a qbt 2
Be
i ( qnat )
U2n / u2n+1表示同一原胞中两种不等价原子的位移
相互作用力：
r = un+1 + a －un
2 1 d 3U dU d U 2 r a r a ...... f ( r ) 2 3 2 dr a dr a dr a
= 0
(d2U/dr2)a =
玻恩—卡门边界条件下平衡位置运动方程组的通解：
un Ae
i ( qnat )
A为振幅，是圆频率，qna是第n个 原子在t＝0时刻的振动相位
序号为n'的原子的唯一位移：
un Ae
若
i ( qna t )
un e
iqa( n n )
两原子位移 相同
2l （l为整数） n n qa
2
qa sin m 2

一维简单晶格的色散关系
关于格波波矢的讨论： （1）当q 0时（长波极限），格波的速度
成为一个常数，与 波矢无关
2 qa v /q sin a q m 2 m
某一原子周围的若干原 子以相同的振幅和位相 振动
un Ae
un+1 ＝ un ＝ un－1
晶格振动的非简谐效应
§ 3.1
格波的研究
一维晶格的振动
—— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一、一维简单格子
严格求解晶格振动是一个非常复杂的问题 ：由于晶体原 子间存在着相互作用力，任何一个原子的振动都必然影响到 其它原子，也必然受到其它原子的影响。
一维单原子链（近似方法）：
假设： （1）同种原子周围情况相同，振幅相同；不同原子， 振幅不同。 （2）相隔晶格常数a的同种原子，相位差为qa。 得到：
M 2 A 1( B A ) 2 ( A Be iqa ) m B 2 ( Ae
2 iqa
B) 1 ( B A)
整理，得：
光学波的频率处于光波频率范围（远红外段）： 离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振。 长波极限下，原子的位移： 长声学波
一维晶格（质量为m的全同原子组成 ），晶格常数为a。
—— 原子之间的作用力 第n个原子离开平 衡位置的位移 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
两原子间的相互作用势为U(r)，它们之间的作用力：
dU f dr
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为： r = un+1 + a －un
忽略 简谐近 似
第n和n+1的两个原子的相互作用力：
f ( r ) un1 un
与弹簧受力f＝－kx比较：常数 为弹性恢复力系数 。
最近邻近似： （1）第n个原子受到第n－1个原子的作用力(un－un-1) （>0 向左的拉伸力; <0 向右的排斥力)； （2）第n个原子受到第n+1个原子的作用力(un+1－un) （>0 向右的拉伸力; <0 向左的排斥力) 第n个原子受到的作用力： fn ＝ (un+1－un) － (un－un-1) ＝ (un+1＋un-1－2un)
振动模式：波矢相同，频率 不同；频率相同，波矢不同 属不同的振动模式。
格波模式总数为2N：对一维 双原子复式格子，一个波矢 对应两个不同频率。
2N为原子总数，
原子自由度数
光学波和声学波
一维双原子晶格的频谱图：
长声学波是弹性波： 当q 0时，格波的速度
与波矢无关的 一个常数
2 A
16Mm1 2 2 2 qa ( M m ) ( M m ) sin 2 2Mm ( ) 2 1 2
解出2的两个正值解：
1 2 16 Mm qa 2 2 2 1 2 2 1 ( M m ) ( M m ) sin 2 2Mm ( 1 2 ) 2
由两种不同原子构成的一维复式格子存在两种独 立的格波：A（声学波）和 O（光学波）
un Ae
i ( qnat )
相邻原子作相对运动
－un+1 ＝ un ＝ －un－1
（3）允许的波矢数目等于原胞的数目。振动谱是分离谱。 周期性边界条件：
un N Ae
e
iqNa
i q( n N )a t
un Ae
2l q Na
i ( qnat )
1
q a a
关于格波频率的讨论：
（1）格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢 2/a为周期的周期函数，即 (q + 2/a)= (q)。
（2）格波的频率具有反演对称性。即 (q)= (q)。
波矢q可以限定在范围：


a
q

a
（第一布里渊区）
晶格振动的波矢数目：
N是总原胞数
un N Ae
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
iqa 2
A、B不会为0，故：
( 1 2 M 2 ) ( 1 2 e iqa ) 0 iqa 2 ( 1 2 e ) ( 1 2 m )
i ( qnat )
在长波( >>a)情况下，格波可看成是弹性波。 因为波长很大时，相比起来晶格常数a很小，所以可以 把晶格看成连续介质。
（2）当q = ±/a时，格波的最大频率
2
qa sin m 2

m
4 m
截止频率。高于此频率的波，不 可能以声波的形式在晶体内传播
当q = ±/a时，位移
1 22 vA A / q a ( M m )( 1 2 )
长声学波是弹性波，最小频率为0。 A一支的格波为声学波。
0 A Amax， Amax < Omin
1 1
声学波的最高频率： 光学波的最低频率：
2 2 2 16 Mm1 2 2 A max 1 ( M m ) ( M m ) 2 2 Mm ( ) 1 2 1 1 2 2 2 16 Mm1 2 2 O min 1 ( M m ) ( M m ) 2 2 Mm ( ) 1 2
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
格点：在研究晶体的几何结构和晶体结合时，组成晶体
的原子被认为是固定在指点位置（平衡位置）静止不动的
理想化模型。 实际情况如何？晶格振动。在T0 K下，组成晶体的原 子并不是静止不动的，而是围绕平衡位置作微小振动，由 于平衡位置就是晶格格点，所以称为晶格振动。
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆－珀替经验规律 —— 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均 分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量 3Nk＝3R —— 实验表明在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降
得： m 2un un ( eiqa e iqa 2 ) 2 un (cos( qa ) 1 )
2 [ 1 cos( qa )] 由此可得 m
2
或者 2

m
sin
qa 2
讨论 （1）格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢2/a为 周期的周期函数。
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d 2un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
可见：每个原子的运动都与其它原子的运动有关。对于 N个原子组成的晶格，所有原子运动联立方程组。 问题：两端的两个原子的运动方程如何处理？
边界条件—1：u1 = 0， uN = 0 （不成立）
晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系
本章主要内容
§ 3.1
§ 3.2
一维晶格的振动
三维晶格的振动
§ 3.3
§ 3.4
简正振动 声子
晶格振动谱的实验测定方法
§ 3.5
§ 3.6
晶格振动的热容理论
l 是整数
允许的波矢数目等于N（原胞数）
N N l 2 2
结论：晶格振动的波矢数目等于原胞的数目，振动谱是分离谱。
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：