§ 3.2 均值不等式
本节内容是选自人教版高中数学B版必修五第三章第二节——均值不等式。
它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。
一、教学目标
知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意义；能够应用均值不等式进行简单的证明
过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法
情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘
二、重难点
重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件
难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式三、教学方法
讲授法
四、教学过程
（一）情境引入
某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几
何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三
角形的两直角边分别为a，b，那我们能否从其中找出
一些不等关系？
解答：图中四个直角三角形的面积总和为：1
4
2ab
大的正方形的面积为：22a b + 我们可以很直观地得出：22a b +>2ab
问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？
当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是a b =时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222a b ab +=。
（二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a b R ∈,则222a b ab +≥. 证明：
2222()a b ab a b +-=-
当a b ≠时，()2
0a b ->；当a b =时，2()0a b -=. 综上所述，可得222a b ab +≥. （三）均值不等式的变式（重点）
若0,0,a b >>则
2
a b
ab +≥（当a b =时，
“=”取到） 需明确的两个概念：2
a b
+表示a 与b 的算术平均数 ；
ab a 与b 的几何平均数 。
证明（几何意义）：
如图：AC 是圆O 的直径，
点D 是AC 上任一点，AD a =，CD b =，过点D 做BD AC ⊥交圆周于B ，
连接OB .
则22
AC a b
OB +=
= 又Rt ADB Rt BDC ∆∆，则AD AB DB
BD BC DC
== 所以2BD AD DC ab =•=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以
2
a b
ab +≥
所以其几何意义为：半径不小于半弦 （四）巩固应用
（1）已知a b 、都是正数，求证：
2a b
b a
+≥. 证明：0,0,a b >>0,0a
b b a
∴>> ，由均值不等式可得
22a b a b
b a b a
+≥⋅=， 当且仅当a b
b a
=
且0,0a b >>同时成立， 即a b =时，等号成立. （2）已知a b 、都是正数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥ 证明： 2a b ab +≥22222a b a b +≥33332a b a b +≥
()()()2233a b a b a b ∴+++2233332228ab a b a b a b ≥⋅=
（五）课堂小结
本节课，我们学习了重要不等式222a b ab +≥；两正数a b 、的算术平均数（
2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2
b
a +≥a
b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a b 、都是实数，而后者要求a b 、都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤2
2
2b a +，ab
≤（
2
b a +）2
. （六）板书设计 一、引入
四个直角三角形的面积总和为：142
ab ⨯
大的正方形的面积为：22a b + 于是可得到22a b +>2ab
当a=b 时，也就是直角三角形变为等腰直角三
角形，中间的正方形EFGH 变为一个点时，
222.a b ab +=
二、均值定理1：一般地，,a b R ∈,则222.a b ab +≥ 证明：
2222()a b ab a b +-=-
当20;a b ≠>时,(a-b)当a b =时，2()0.a b -= 综上所述，可得222.a b ab +≥ 均值定理2：若0,0,a b >>则2
a b
ab +≥（当a b =时，
“=”取到） 证明（几何意义）：
如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD=a ，CD=b ，过点D 做BD ⊥AC 交圆周于B ，连结OB.
则 OB=
22
AC a b
+=
又Rt ADB Rt BDC ，则
AD AB DB
BD BC DC
==
所以2BD AD DC ab =⋅=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以
2
a b
ab +≥所以其几何意义为：半径不小于半弦 三、应用
已知a b 、都是正数，求证： （1） 2.a b b
a
+≥
证明：00,0,0a b a b b a
>>∴>>、 ，由均值不等式可得
2a b b a +≥=，当且仅当00a b a b b a =>>与、同时成立，
即a b =时，等号成立. （2）()()()2233338a b a b a b a b +++≥
a b +≥22a b +≥33a b +≥
()()()2233a b a b a b ∴+++338a b ≥=
()11212
n
n
n x x x x x x n
++
+≥，对每个0i x ≥.
证明：用数学归纳法. （1） 当2n =时，就是均值不等式，显然成立； （2） 设n k =成立，证2n k =成立；
()()()1
1111
21121222222
k k
k k k k
k k k
k x x x x x x x x x x x k k ++••••+
+++•≥+≥
（3） 设n 成立，证1n -成立；
即已知()1
1212n
n n x x x x x x n
+++≥，对每个0i x ≥，
特别地取11
1
n n x x x n -++=-代入上式有
左=
()11
11111111111
n n n n x x x x x x x x n n n
n n ----⎛
⎫+
++
+++++
⎪
++-⎝⎭-=
=- 右=
()1
111111n
n n
n x x x x n n
--++⎛⎫
•
• ⎪
-⎝⎭ 由于左≥右，所以
()
()
()
1
1
111111111111
11111
1
11111111
n n
n
n n n
n
n n n n n n n n x x x x x x x x n n x x x x x x x x n n ------------++++⎛⎫⎛⎫≥•
•⇔≥•• ⎪
⎪
--⎝⎭
⎝⎭+++
+⎛⎫⇔≥••⇔
≥•
• ⎪
--⎝⎭。