西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中 西安市83中西安市85中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考2020届高三年级数学（理科）试题本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D.M S ⋂=∅【答案】A 【解析】 【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项. 详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆，∴M S M ⋃=， 故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系. 2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解.【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-， 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月【答案】C 【解析】 【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得最低气温低于0C ︒的月份有3个．【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确； 在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A. 24种 B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B 【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B. 考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D .【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( ) A. 23 B. 27 C. 47 D. 43【答案】B 【解析】 【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小. 【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM +，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=4=所以PM 的最小值为【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得=点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪⎣⎭⎝⎦【答案】B【解析】 【分析】 首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可.【详解】∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切 【答案】D 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.10. 设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ）A.12B. 3C. 5D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先求出a 、b 、c ，设()00,P x y ，表示出向量()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=-- ，再整理得出m 的取值，得出答案.【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点；即()()122,0,2,0F F - ，2229,5,4,2a b c c ====设()00,P x y()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=--由12PF PF m⋅=可得22004x y m +=+ 又因为P 在椭圆上，即2200195x y +=所以20994m x -=要使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<< 解得1<m<5所以m 的值可以是3. 故选B.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.11. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.22πB.5225πC.16925πD.338125π【答案】D【解析】【分析】正方形ABCD 的边长为2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得22h =，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积． 【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，，折成正四棱锥后， 设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<． 正四棱锥体积213V a h =最大时，即V =． 由452y a =， 则348y a '=-， 令0y '=，可得a ，即当a =体积取得最大值；h ∴=正四棱锥底面正方形外接圆45r =． 正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．12. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A. [)3,-+∞B. ()3,-+∞C. [),e -+∞D.(),e -+∞【答案】A 【解析】 【分析】先建立不等式组48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，再用a 表示出12x x ，12x x +，接着将()()12f x f x λ>+转化11ln12a aλ>-+-，最后构建新函数()()2ln 11g x x x x =-+->得到()13g λ≥=-即可解题.【详解】解：因为()22ln f x ax x x =-+，（0x >）所以()21221'220ax x f x ax x x -+=-+==有两个正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<，又∵2112210ax x -+=，2222210ax x -+=，1212x x a =，121x x a+=，∴()()22111212222ln 2ln ax x x ax f x f x x x λ-++-+>+=111222112ln 2ln 22x x x x x x =--++--+()121211ln 1ln12x x x x a a =-++-=-+-， 令()()2ln 11g x x x x =-+->，()1'20g x x=-<，∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()13g λ≥=-， 故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，由()()1y x x a =-+为偶函数求解.【详解】∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 【答案】32【解析】【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，……，那么n N =______.【答案】()212n n +.【解析】 【分析】首先根据题意得到()2112n N n n =+++，再利用等差数列求和即可. 【详解】由题知：()31129153N =++⋯+=，()411216343N =+++=…，()511225653N =+++=…，……，所以()()()222211212112nN n n n n n n n ++==+++=⨯. 故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题. 16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【答案】45-. 【解析】 【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得()5sin()f x x ϕ=-，其中34cos ,sin 55ϕϕ==， 由题意得5sin()5θϕ-=，得2,2k k Z πθϕπ-=+∈，从而可求出cos θ的值 【详解】解：()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. ()1求数列{}n a 的通项公式；()2若()1n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和为2nT.【答案】()12n a n =；()2222n n T n =+.【解析】 【分析】()1证出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，进而写出数列{}n a 的通项公式； ()2结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可.【详解】解：()12121233n n S a n n n +=---，*n N ∈， ∴()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-，① 当2n ≥时，()()()111213n n n n n S n a --+=--，②由①-②得()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+，1222n n n a S S -=-，∴()()1121n n n na n a n n a +=--+-，111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列， ∴()111na n n n=+⨯-=，即2n a n =，()2n ≥ 当1n =时，上式显然成立，所以2n a n =，*n N ∈.()2()()211n nn n b a n =-=-，∴()()22222221234212n n T n =-+-++--+()()()()()()21214343221221n n n n =+⨯-++⨯-+++-⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1234212n n =+++++-+22n n =+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，结合求和公式的知识点，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面MAC ； （2）若1AB =，112A D =，3MA =111A A B D -23，求二面角1M AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）分别证明BD AC ⊥和MABD 即可；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）∵AB AD=，∴BD AC⊥，∵90MAB∠=︒，∴MA BD，∴BD⊥平面MAC；（2）设BD AC O⋂=，棱台的高为h，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则三棱锥111A AB D-的体积为2233h=3h=∴(12,3B，22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2,0,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，故12,2,32B A⎛=⎝，()2,0,0CA=，设平面1ACB的法向量为(),,n x y z=，由1n B An CA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：223020x zx⎧=⎪⎨⎪=⎩，令3y=(0,3,2n=，取平面MAC 的法向量为()0,1,0m=，则315cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1M AC B--的平面角为钝角，故二面角E BF C--的余弦值为15【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策.【详解】（1）根据题意可得()111Pξ==⨯=，305525()133312Pξ==⨯⨯=，51025()12331Pξ==⨯⨯+⨯=，3225510104()11327Pξ==⨯⨯+⨯⨯=，332251010525()312211342Pξ==⨯⨯+⨯=，10105550()212Pξ==⨯⨯=，35251025()111Pξ==⨯=，361010100ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解.（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-；令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形.【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数导数()12x f x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '= 解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=， ()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． （2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122x x x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1x e x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12x x x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增，又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题.共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求AB 的值.【答案】（1）210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）【解析】【分析】（1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为221010310x y x y +--+=，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果；（2）本题首先可根据04cos 5θ=得出03sin 5θ=，然后联立圆的极坐标方程以及0θθ=得出214310ρρ-+=，最后通过韦达定理以及12AB ρρ=-即可得出结果.【详解】（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=， 则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知0a >，0b >，且222a b +=.(1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】 分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +24b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<； 综上，9922x -≤≤. （2）()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 5544b a a b a b =+++，()55222222b a a b a b a b=+++-，()()2222222224a b a b a b ≥++=+=.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。