高中数学函数零点问题的求解
函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。
总结如下：
一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例1、函数x
x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数x
x x f 2)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）
（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()(<b f a f ，但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。
仅当函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：
例3.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=
02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 2
2=的解，但这个方程不是 熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构 造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得
出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。
如：
例4.函数1096)(23-+-=x x x x f 零点的个数为
分析：Θ1096)(23-+-=x x x x f ，∴)3)(1(39123)(2/--=+-=x x x x x f 令0)(=x f ,得3,121==x x 列出x,y /,y 的对应值表如下：
作出函数1096)(23-+-=x x x x f 的草图可知，函数)(x f 的图
象与X 轴仅有一个交点，则)(x f 仅有一个零点。
注意：本类型题的特点是找出函数)(x f 的图象与X 轴交点，y x
实质上仍是求函数)(x f y =与函数0=y 交点的情况。
若把0=y
换成a y =，相当在原题中引入参数a ，得出一般情况下的解法，如：
例5、（例4变式题）试讨论函数a x x x x f --+-=1096)(23(R a ∈)零点的个数。
分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:
然后再结合函数)(x f 的图象与X 轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X 轴交点情况，得出如下结论：
当010>--=a y 极小值即10-<a 时有一个交点；当010=--=a y 极小值即10-=a 时有两个交点；当010<--=a y 极小值且06>--=a y 极大值即610-<<-a 时有三个交点；当06=--=a y 极大值即6-=a 时有两个交点；当06<--=a y 极大值即6->a 时有一个交点.
方法2：通过构造函数1096)(23-+-=x x x x f 与a x g =)(转化求解，利用例4的方法可得到函数)(x f y =
可得出结论：当)10,(--∞∈a 仅有一个零点；
当10-=a 有二个零点；当)6,10(--∈a 有三个零点；
当6-=a 时有二个零点；当),6(+∞-∈a 仅有一个零点。
例6、已知5>a ，函数1)(23+-=ax x x f 在区间（0，3）内零点的个数为 。
分析：本题利用导数法可得出)(x f y =在区间（0，3）上是单调递减函数，且01)0(>=f ,)5(0928)3(><-=a a f ，由函数的图象可知仅有一个零点。
三．求函数的具体零点或求方程的根。
对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。
如：
例7、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1-=x 综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。