EIy1F(xl)3C xD 6
F Bx
B
12
§6-3 用积分法求梁的变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C1F2l, D1F3l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
yB
l
F Bx
B
EI1F(xl)21F2l
2
2
E I1 yF (xl)31F2x l1F3l
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx0, FAyF(), MA Fl(
2）写出x截面的弯矩方程
)A
x
yB
l
M (x ) F ( l x ) F (x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
Ed d I2y2 xM(x)F(xl)
积分一次 EdI yEI1F(xl)2C
dx 2
再积分一次
6
26
6）确定最大转角和最大挠度
xl, ma xB2 F E 2,lIyma x yB3 F E 3 lI
13
§6-3 用积分法求梁的变形
例2 y
用积分法q 计算图示简支梁的解：A，B，yC。
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl) 22
l/2 l/2
EI"yq(lxx2)
YA=ql/2
条件确定。
位移边界条件
（支承条件）
光滑连续条件
(两段梁的交界面)
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~ ~~ ~~
~ ~~
~ ~ ~
~
~
A
A AAA
A
A AA
A
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yA
－弹簧变形
yAL yAR
ALAR
yAL yAR
10
解题步骤：
⒈ 建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向 右，y 轴竖直向上；
x2
M x1F Ax y1F l x b 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
16
§6-3 用积分法求梁的变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EId2y1 dx12
1M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
(x) EIz
6
§6-2 挠曲线的近似微分方程
由数学知识可知：
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx 2
所以
d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
5ql4 384EI
15
§6-3 用积分法求梁的变形
例3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By F l a
A
2）弯矩方程
F Ay x1
F DC
ymax
B B x
F By
AC 段：
1.基本概念 w
x
转角 挠度
w
挠曲线方程：
挠曲线
w f (x)
挠度y：截面形心
在w方向的位移 x
w向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为： tan dw
dx
5
7-2
§6-2 挠曲线的近似微分方程
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
⒉ 将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁 的弯矩方程；
⒊ 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次； ⒋ 根据边界条件和变形连续条件确定积分常数； ⒌ 将要求的变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程， 求指定截面的转角和挠度。
11
§6-3 用积分法求梁的变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
挠曲线的近似微分方程为：
d2 y M(x) dx2 EIz
积分一次得转角方程为：
d2y EIz dx2 M(x)
EzI d dx y EzIM (x)d xC
再积分一次得挠度方程为：
E zyI M (x )dx C d x D x
9 7-3
§6-3 用积分法求梁的变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
22 3 24
EIyq(lx31x4)q3lx 26 12 24
YA=ql/2
FB=ql/2
EIA
ql3 24
;
A
ql3 24EI
EB Iq 2(2 ll21 3l3)q 23l4 q 23l;4
B
ql 3 24 EI
EC Iy q 2[6 l(2 l)31 1(2 2 l)4]q 23l4 2 l;yC
FB=ql/2
2
E'IE yIq(lx21x3)C
22 3
EIq y(lx31x4)CxD 26 12
x0,y0; D0
xl,y0; 0q(l4 l4 )Cl C ql 3
2 6 12
24
14
§6-3 用积分法求梁的变形
y
q
A x C EI l/2 l/2
E'IyEIq(lx21x3)q3l
Bx
第6章 弯曲变形
§6-1 概述 §6-2 挠曲线的近似微分方程 §6-3 用积分法求梁的变形 §6-4 用叠加法求梁的变形 §6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §6-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
目录
§6-1 概 述
2 7-1
§6-1 概 述
3
§6-1 概 述
4
§6-2 挠曲线的近似微分方(x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
7
§6-2 挠曲线的近似微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d2 y M(x) dx2 EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
8
§6-3 用积分法求梁的变形
M(x1)Fl bx1
y
F
A
D C B B x
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
EI1 yF 6l b x1 3C1x1D1
CB 段：
ax2 l
A
F Ay
ymax
F By
x1
x2
a
b
Ed d I2y 2 22 xM (x2)F l x b 2F (x2a)
Ed dI 2 2x y E(x I2)F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 C 2
E2I F 6 y lx b 3 2F 6(x 2 a )3 C 2x 2D 2
17
§6-3 用积分法求梁的变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0)0 x2 l, y2(l) 0
光滑连续条件 x1x2a, x1x2a,