2
m1 F A 2 0
2
M2
Fs2
3 3 B
M
8 kN .m
3－3截面
F
FB
y
0; Fs 3 F B 0
Fs3
F s 3 3 kN
m
3
0; M 3 FB 2 0
M 3 6 kN .m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A 1 2 3 2 3 2m C B
例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。
q=2kN/m 1 2 3 4 A C 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m F=12kN
解：取整体， m B 0 ;
FA 4 F 2 2q 1 0 F A 5 kN
FA
A
FB M1
1
1
1－1截面
FA Fs1
F
y
0 ; F A F s1 0
F s左 F s右 P
q=2kN/m 1 2 3 4 A 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m
F=12kN
4－4 截面
FA
FB Fs4
F
y
0;
4
Fs4 0
M
4
M4
4 C 4
m
0;
0
由4－4 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ； ⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。 m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
2 3 2 3 2m C
解：取整体， m 0 ;
B
F A 4 m1 m 2 0 F A F B 3 kN
2m
FA m1 A 1 M1 1 FA Fs1
FB
1－1截面
F
y
0 ; F A F s1 0
q ( x )d x d Fs ( x )
dFs ( x) dx
q ( x)
q(x) A B Fs(x)+d Fs(x)
x
dx
Fs(x) dx
o
M(x)+d M(x)
m
o
( Fi ) 0;
1 2 q ( x )(d x ) M ( x ) [ M ( x ) d M ( x )] 0
FA
A 2 2
FB M2 Fs2 M3
m
2
0; M
M
2
FA 2 0
2
10 kN .m
FA
P=12kN 3 A 3
3－3截面
F
Fs3
y
0; F A F s 3 P 0
FA
F s 3 7 kN
m
3
0; M
3
FA 2 0
M 3 10 kN .m
§4–3
q x l q
剪力图和弯矩图
图示梁任一截面的内力。
F
y
0;
F s ( x ) q (l x ) 0 F s ( x ) q (l x )
M(x) Fs(x) l-x
截面剪力是截面坐标的函数，称 为剪力方程。

m x 0; M ( x )
q 2
(l x ) 0
M 为二次函数，M 图为抛物线；
当M 图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点
的位置和顶点的弯矩值。 由：
dM ( x ) dx Fs ( x) 0
可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。
另外： • 1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变 化，成为一个转折点。 • 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶 矩数值。 • 3、 M max 的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发 生在集中力作用处，还有集中力偶处。 根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩 方程，即可画出剪力图和弯矩图。
B A
x
Ⅰ Ⅰ
A
Ⅰ
Fs M
a
l
FAy
将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力 偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力 偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。 ⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为 正，反之为负； ⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的
m=12kN.m q=6kN/m 1 2 3 B 1 2 3 2m C1m 3m
解：取整体
A
m
B
0; F 6 m 4 q 2 0 A 1
F A 6 kN
FA
A
FB
1 1
M1 Fs1
F
y
0; F A F B 4 q 0
F B 18 kN
FA
1－1截面
m2 M2
2 3 2 3
M3 Fs3
2m
FS2
FB
C
FA
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 集中力偶两侧截面的的剪力相等；
F s左 F s右
⑵ 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差
等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。
M左 M右 m
例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。
F s 1 3 kN
m
1
0; M 1 m1 0
M 1 2 kN .m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A 1 2 3 2 3 2m C B
2－2截面
F
y
0; F A Fs 2 0
F s 2 3 kN
2m
FA m1 A FA M3
2 2
FB
m
2
0; M
弯矩为正，反之为负。
Fs
⊕
Fs F s
－ ○
Fs M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x
Ⅰ
弯矩正负的规定
F
Fs M
y
0;
F Ay F s 0 ,
A
Ⅰ
F s F Ay
FAy
m
1
0;
M F Ay x 0 ,
M F Ay x
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画； ⒋ 列平衡方程 Fx= 0，求剪力FS ； m= 0，求弯矩。
M max＝ql / 2
2
例题6
a
F
b
图示简支梁C点受集中力作用。
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
FS
Fb / l
M

x
A
＝0，
M
B
＝0

Fa / l
M
Fab / l
FAy＝F b/ l FBy＝F a/l 2．写出剪力和弯矩方程
2
M (x)
q 2
(l x )
2
截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。
q x l Fs ql 剪力图 M 弯矩图 -ql2/2 x
－ ○
剪力方程 F s ( x ) q ( l x ) 的函 数图象称为剪力图。正的剪力画在
基线上侧，负的画在下侧。
F s ( 0 ) ql , F s (l ) 0
FA m
A 2 2
FB M2 Fs2 M3
3 3
m
2
0; M
2
FA 2 m 0
2
M
24 kN .m
FA
3－3截面 q
B
Y
FB
0; F B F s 3 3q 0
Fs3
Fs3 0
m
3
0; M
3
FB 3 3q
3 2
0
M 3 27 kN .m
F s 1 5 kN
m
紧挨杆端截面的弯矩M=0。
1
0;
M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，
q=2kN/m 1 2 3 4 C A 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m
F=12kN
2－2截面
F
y
0; F A F s 2 0
F s 2 5 kN
2
F s ( x )d x
略去高阶微量得：
dM ( x) dx
dFs( x) dx
Fs ( x)
d M ( x) dx
2 2
q( x)
⑴ 当q = 0 ，Fs =常数， Fs 图为平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
⑵ 当q =常数 ， Fs为一次函数， Fs 图为斜直线；
AC CB x

0 x1 a M x1 Fbx1 / l 0 x1 a ＝ FS x2 Fa / l a x2 l ＝ M x2 Fal x2 / l a x2 l ＝
依方程画出剪力图和弯矩图。
FS x1 Fb / l ＝
3. 工程实例
二、平面弯曲 F1 q F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯
曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，
将主要研究平面弯曲的内力，应力及变Βιβλιοθήκη 等。三、简单静定梁 悬臂梁