2
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 12
2
2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
2 p 2 a q , 4
Mx N Mt b,
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q )
b Mt dt 2 dt 2 2 n 2 n (t a ) (t a )
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 9
例4 求不定积分
解
1 dx . 2 x( x 1)

1 1 1 1 d x dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)

1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 6
3、化真分式化为最简分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 7
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和.
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 4
2、化有理函数为最简分式之和
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 3
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
13
(1) n 1,
p x M b 2 2 C; ln( x px q ) arctan 2 a a Mx N dx ( 2) n 1, 2 n ( x px q ) M 1 dt . 2 2 n1 b 2 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
1 ln x ln( x 1) C . x 1
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
10
1 例5 求不定积分 (1 2 x )(1 x 2 ) dx .
4 2 1 x 1 5 dx 5 5 dx d x 解 1 2 x 1 x2 (1 2 x )(1 x 2 )
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 8
1 A Bx C , 例3 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x
2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 11
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地：k 1, 分解后为 xa
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 5
2 k ( x px q ) （2）分母中若有因式 ，其中 2 p 4q 0 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
(1) 多项式； ( 2)
A ; n ( x a)
Mx N ( 3) ; 2 n ( x px q )
Mx N dx , 讨论积分 2 n ( x px q )
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
3.3.1 有理函数的积分法
1、有理函数
由两个多项式的商表示的函数.
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及