当前位置:文档之家› 人大版微积分第五章几种特殊类型函数的积分演示教学

人大版微积分第五章几种特殊类型函数的积分演示教学



x
3 x2
x
1
1
x
1
x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
微积分
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1)分母中若有因式 (xa)k,则分解后为
(x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka,
其 中 A 1 ,A 2 , ,A k 都 是 常 数 . 特殊地:k1, 分解后为 A ;
其 中 M i,N i都 是 常 数 ( i 1 ,2 , ,k ).
特殊地:k1,
分解后为
Mx N x2 px
; q
微积分
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x
6
x3 A B , (x2)(x3) x2 x3
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
则 a2 q p2 , b NMp,
4
2
(x2M pxxNq)ndx
(t2
Mt a2)n
dt
(t2
b a2)n
dt
微积分
(1) n1, x2MxpxNqdx
Mlnx(2pxq)barctaxn
p 2C;
2
a
a
(2) n1, (x2M pxxNq)ndx
M
2(n1)(t2a2)n1b
(t2
1 a2)n
1 11 1 x( x 1)2 x(x1)2x1.
微积分
例3
1 (12x)(1
x2)1A2xB 1xxC 2 ,
1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2 C ) x C A ,
A 2B 0, BA(1C22Cx)11(1,0, x2)A 15 454,2B x15 2 52,xC x2 151 5 . ,
微积分
微积分
dx rx dt
莫兴德
广西大学
数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第二章 极限与连续 第四章 中值定理,导数的应用 第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
AC 0
A
B
0
B 1
A 1
B
1
C 1
但若 x2(x11)xA2xB 1 A (x1 )B2 x1 A 0 ,A 1 矛盾
微积分
(2)分母中若有因式 (x2px q)k,其中 p24q0 则分解后为
(x M 2 1 x p N q 1 x ) k (x 2 M 2 p x N q x 2 ) k 1 x M 2 k x p N k q x
微积分
6 t1 3t3 1tt3 2dt
6lnt3ln1 (t)3 2
d(11tt22)311t2dt
6 ltn 3 ln 1 t( ) 3 ln 1 t( 2 ) 3 artc C ta 2
x 3 ln 1 e (6 x) 3 ln 1 e (3 x) 3 are c 6 x) tC a . n 2
微积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1
1
1
xd x(x1)2d xx1dx
ln x1ln x (1)C . x1
微积分
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
2 ln 1 2 (x ) 1 ln 1 x (2) 1 arx c C t.an
5
5
5
微积分
例6 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6

x
令 t e 6 x6ln t,
dx 6dt,
t
1
xx
x dx1t3 1t2t6tdt
1e2 e3 e6
6 t(1t)1(1t2)dt6 t1 3t3 1tt3 2dt
dt.
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
微积分
In
1 (t2 a2)n dt.
则In
1 a2
t2a2t2 (t2a2)n
dt
a 1 2In 12a2(1 n1)
1 td (t2a2)n 1
1
1
t
1
dt
a 2 I n 1 2 a 2 ( n 1 )( t2 a 2 ) n 1 2 a 2 ( n 1 )( t2 a 2 ) n 1
1
t
2 n 3
2 a 2(n 1 )(t2 a 2)n 12 a 2(n 1 )In 1
微积分
I1 t2 1a2d ta. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第五章
几种特殊类型函数的积分
微积分
微积分
假定分子与分母之间没有公因式
(1) nm , 这有理函数是真分式;
(2) nm ,这有理函数是假分式;
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
微积分
说明 将有理函数化为部分分式之和后,只出 现三类情况:
(1)
多项式;
(2)
(
x
A a)n
;
(3) (x2M pxxNq)n;
MxN
讨论积分 (x2pxq)ndx,
x2p xq xp 2qp2, 2 4
令 x pt 2
微积分
记 x 2p x q t2 a 2 , M N x M b ,t
xa
微积分
注 关于部分分式分解
如对
1 ( x a)k
进行分解时
(x
1 a)k
(x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka,
一项也不能少,因为通分后分子上是 x的(k1)次
多项式,可得到k个方程,定出k个系数,否则将
会得到矛盾的结果。
例如 x2(x11)A xxB2xC 1
微积分
A (x x 1 ) B (x 1 ) C 2 1 x
A(3A B21,B)3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5 6 . 5x6 x2 x3
微积分
例2
x
(
1 x1
)2
A x(x B1)2
C, x1
1 A ( x 1 ) 2 B C ( x x 1 ) x( 1 )
代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x0, A1 取 x1, B1 取 x2, 并将 A,B值代入 (1) C 1
相关主题