第二章一元二次方程
3 •用公式法求解一元二次方程（一）
教学目标
（一）教学知识点
1•一元二次方程的求根公式的推导.
2•会用求根公式解一元二次方程.
（二）能力训练要求
1•通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.
2•会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.
（三）情感与价值观要求
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯.
教学重点
一元二次方程的求根公式
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac > 0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片
教学过程
第一环节；回忆巩固
活动内容：
①用配方法解下列方程：（1）2x 2+3=7X（2）3X2+2X+仁0
全班同学在练习本上运算，可找位同学上黑板演算
②由学生总结用配方法解方程的一般方法：
第一题：2x2+3=7x
解：将方程化成一般形式：2x2-7x +3=0
x2—7=0
两边都除以一次项系数：2 2 2
活动目的:
改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平 方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
(2) 选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范 围内都有解。
(3) 教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习
活动的实际效果：
通过对旧知识的回顾， 学生再次经历了配方法解方程的全过程，
由于是旧知识，学生容
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
即：
X 2
_7
x (I)2
一
49
? =0
2 4 16 2
7 2
25
r 一肓0
2
25
=16
两边开平方取“土” 得:
x
厶？
4 _4 4
一4
写出方程的根
x1=3 , x2=
第二题:
3x2+2x+仁0
解：两边都除以一次项系数 ：3
x2
1x V 0
配方:加上再减去一次项系数一半的平方 即：
x 2 Mx (1)2」-2=0 3 3 9 2
.丄1 、2丄25 小 (x+3 寸
25
18
：：:0 •••原方程无解
(1)
进一步夯实用配方法解方程的一般步骤
.在这里相对于书上的解题方法作了小小的
易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维， 为后面的 探
索奠定了良好的基础。
第二环节探究新知
（1）活动1:自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：
ax+bx+c=O （a 丰0）
学生在演算纸上自主推导、 并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
最 后由
师生共同归纳、总结，得出求根公式
解：两边都除以一次项系数:a
问：为什么可以两边都除以一次项系数
:a
问：如果b 2
-4ac<0时，会出现什么问题？
x 2 -x - =0
a a
答：因为0
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
x 2
b
x （卫）2
a 2a
（x
上）
a b 2
-4ac
4a 2
（x b
） a b 2
-4ac 4a 2
问：现在可以两边开平方吗?
答：不可以，因为不能保证 b 2
-4ac 0
4a 2
—
问：什么情况下 b 2
-4ac 0
学生讨论后回答: 答：•/ a 工0
••• 4a 2
>0
要使b 2
-4ac 小
2
0 4a
2
只要b -4ac > 0即可
•••当b 2
-4ac > 0时，两边开平方取“土
得：x+冷片
b b 2
- 4ac
x
a 2a
b 丄、b -4ac
x 二
a 2a
-b b 2
-4ac x 二 2a
答：方程无解
如果b2-4ac=0呢？答；方程有两个相等的实数根。
活动目的：
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识•在集体交流的时
候，才能有感而发。
活动的实际效果：
学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：
（1） 2 b b 2 b2 c中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误
x x （） 2 o -存a
a 2a 4a a 4a a
（2）不能主动意识到只有当b2-4ac > 0时，两边才能开平方
（3）两边开平方，忽略取“土”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
（2）活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。
第三环节：巩固新知
活动内容：
1、判断下列方程是否有解：（学生口答）
2 2 2 2 2
(1)2x +3=7x (2) x -7x=18 (3) 3x +2x+ 仁0 (4) 9x +6x+ 仁0 (5)16x +8x=3
2
⑹ 2x -9x+8=0
学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。
问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？
2、上述方程如果有解，求出方程的解
学生口述，教师板书第（ 1 ）题，第（4）题
2
例：解方程2x +3=7x
先将方程化成一般形式解：2x 2-7x+3=0
确定a,b,c的值a=2, b=-7, c=3
判断方程是否有根
2 2
•/ b -4ac=(-7) -4 X 2X 3=25>0
—b 二b —4ac x -
2a
7_ 25 7 _5
_ 2 2 _ 4
写出方程的根即x i=3,x 2=- 1
2
问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？
2
例：解方程9x +6x+仁0
确定a,b,c 的值解：a=9, b=6, c=1
判断方程是否有根•/ b2-4ac=6 2-4 X 9 X仁0
—b ±l b2—4ac
x =
2a
_ - 6 -■. 0
••• 一2 9
-6 _0
-18
1
=——
3
（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）
3、课本随堂练习1、2.
活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解
学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结•大部分学
生能够正确、熟练的用公式法解方程。
第四环节：收获与感悟
活动内容：
提出问题：
_ 2
1、一元二次方程ax +bx+c=0（a丰0）的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。
第五环节：布置作业
用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）
1、课本47 页1,2 题。
2、程解应用题
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同, 求台布的长和宽
教学反思
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。