A
D
B
黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一数学下学期期中试题
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1． 已知向量(
)
3,1a =
，则||a =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
2．
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2223b c a bc +-=，则A =
A ．
6π B ．56π C ．3π D ．23
π
3． 在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 4． 已知12,e e 是单位向量，若12|4|13e e -=则1e 与2e 的夹角为
A ． 30°
B ． 60°
C ． 90°
D ． 120° 5．
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 0a A b B -=，则ABC 的形状
一定是
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且
132
a ，3
4a ，2a 成等差数列，则20
191817a a a a +=+ A ．9 B ．6 C ．3 D ．1
7． 在等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，23S =，49S =，则6S =
A ．12
B ．18
C ．21
D ． 27
8． 在数列{}n a 中，已知14a =，25a =，且满足21(3)n n n a a a n --=≥，则2019a =
A ．1
4 B ．54 C ．1
5 D ．45
9． 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用
勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵
爽
弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则AE = A 4255a b
+B ．2455a b + C ．4233a b + D ．24
33
a b + 10．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为*
()n S n ∈N ．有下列命题：
①若315S S =，则180S =；②若315S S =，则9S 是n S 中的最大项；③若315S S =，则
9100a a +=；④若910S S >，则1011S S >．其中正确命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．已知锐角
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2
c a a b =+，则
2cos cos()
A
C A -
的取值范围是 A ．
B ．1(,
2 C
． D ．1(,1)2
12．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n N *
>=+∈,
1
121(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的,n n N k T *
∈>恒成立，则k 的最小值是 A ．1 B ．
12
C ．13
D ．16
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13．已知向量(2,1),(1,3),(3,2)a b c =-==，若()//a b c λ+，则λ=___________． 14．已知等比数列{}n a 满足14652,21a a a a ==-，则9a =____________． 15．已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n
项和为n S ．
若*,n a n =
∈N
2)n ≥，
则数列1
1
{
}n n a a +的前15项和为_______________． 16．已知,A B 是单位圆O 上的两点，120AOB ∠=︒，点C 是平面内异于,A B 的动点，MN
是
O 的直径．若0AC BC ⋅=，则CM CN ⋅的取值范围是_______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在等差数列{}n a 中，已知567,24a S ==．
（1）求n a ；
（2）若(1)n
n n b a =-，求数列{}n b 的前10项和10T ．
18．已知A ,B ,C 是
ABC 的三个内角，向量(cos ,sin 2sin ),m B B C =-
(2cos cos ,sin )n C B B =+，且m n ⊥．
（1）求A ； （2
）若BC =，求AB AC +的取值范围．
19．已知
ABC
中，45,cos 5
B A
C C =︒==
． （1）求边BC 的长；
（2）若边AB 的中点为D ，求中线CD 的长．
20．已知数列{}n a 满足112(1),2n n na a n a +=+=，设n
n a b n
=
． （1）证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
21．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2
112,32 2.n n n a S a ++==-+
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明
12
1111118
n a a a +++
<．
22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
111,2n n a S S n n p +=+=++．
（1）若0p =，求234,,a a a ；
（2）若数列{}n a 为递增数列，求实数p 的取值范围．
哈三中2018—2019学年度下学期 高一学年第一模块数学考试试卷答案
一、选择 DABBD ACBAD CC 二、填空 13. 1-
14. 12 15. 1531
16. 3[(0,]22
-
三、解答题
17. （1） 23n a n =- （2） 1010T =
18. （1） 3
A π
=
（2）
19. （1） BC =（2）CD =20. （1）略 （2）1
(1)22n n S n +=-+ 21. （1）42n n
n a =- （2）略
22. （1） 2341,4,3a a a === （2）13(,)22。