分部积分法的二个经验
一、u 和v / 的选择
我们知道，用分部积分公式求积分时，主要是选好 u 与 v ，
这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。

“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。

其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x )恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u ,次序在后的取为 v’ 进行分部，这样通常能解决问题。

这便是经验顺序。

例1 求 ∫
=dx xe I x 解 被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为v /，即
x e ∫
=x xde I
例2 求
∫
=xdx x I cos 解 这是“幂三”型，cos x 应取为v /，即 ∫
=x d x I sin
例3 例3 求
∫
=dx x x I 2sin cos ln 解 这是“对三”型，应将“三”取为v /，即 ∫
−=)cot (cos ln x d x I
要注意，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的，但并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。

例如，求 ∫
+=dx x xe I x
2)1( 这是“幂指”型．若按经验顺序，取为v /，则
x e ∫
∫+−−+=+=dx e x x e x x de x x I x x x 322)1(1)1()1( 所得新积分反而比原积分更复杂。

这时，应考虑取“幂”为v /，即
C x e C e x xe e x d x x xe x d xe I x x x x x x ++=+++−=+++−=+−=∫
∫11)(111)11(
二、关于连续多次分部积分的使用
在用求积分时，可能会出现多次使用分部积分法的情况，例如
∫xdx x cos 3，∫
dx e x x 3 都需要使用3次分部积分才能得出结果。

而则需要5次分部积分公式才能得出结果。

那么对于这样的积分能不能节省篇幅，一次写出其结果呢，回答是肯定的。

下面简述这类题的经验。

∫
xdx x cos 5先根据上述“反对幂指三”的做法确定出u 和v’，接着对u 连续求各阶导数，直到导数为0。

对v’连续求积分，次数比对u 求导的次数多一次。

排列成：
u u / u // u /// … u (k)
将连线对应的两项相乘，符号取连线中间的正负号，最后作和即为所求积分。

例7 求
∫xdx x cos 5解 可设u ，
5x =x v cos =′
则。

x x x x x x x x x x x xdx x cos 120sin 120cos 60sin 20cos 5sin cos 23455++−−+=∫u = x 5 5x 4 20x 3 60x 2 120x 120
v / = cos x sin x -cos x -sin x cos x sin x -cos x + － + － + － v / v v v v ... (v)
k-1个+ － + － (-1)k+1。