第三章 样条插值和曲线拟合1．x y =有如下的函数表8。

解 先作差商表4167121013934201511008160124601316111100-⨯---故：8.2)48(512)8(1=-+=p819047619.2)98)(48(2101)48(512)8(2=----+=p844444.2)98)(48)(18(34201)48)(18(601)18(311)8(3=---⨯+----+=p6222.2)1(47810081478601)18(861)08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知828427.28=，因此选定)8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。

利用Neville 方法得:xi8-xif(xi)2.82842718 0817 1-1.333333333.3333333 2.4 44 22.866666667 2.62222222.8 2.8444444 9-132.8190476192.8571429 16 -84f(8)= 2.828427125 xi8-xif(xi)8 0817 1-1 1/33 1/3 2 2/5 44 22 13/15 2 28/452 4/5 2 38/45 9-132 86/1052 6/7 16 -8 4已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321p x x x ====2.819047619最接近8.11101201011121213434342121------ 所以：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ，故：21214)(=p 。

（2）若采用分段插值，则在],0[21上，x x f x f x L =--+--=00)(0)0()(121121，所以： )()()(214212121p f L ===，结果一样。

3．解 （1）若记L (x )为tgx 在[]44,ππ-上的分段线性插值函数，则 ],[,8)()(122+∈≤-=i i x x x h M x L tgx x R 其中[]4max 44,2=''=-∈x g t M x ππ，欲使422210218)()(-<≤≤-=h h M x L tgx x R ，故 014142.01022=⨯<-h（2）如果采用分段二次插值，若)(2x L 为tgx 在[]44,ππ-上的分段二次插值函数，则 ],[,31216))()((!3)()()(1331212+++∈≤---'''≤-=i i i i i x x x h M x x x x x x f x L tgx x R ξ其中[]16max ,3='''=-∈x g t M x ππ，欲使432103121616)()(-<≤-=h x L tgx x R ，应使：解：若对在44ππ中用等距分段Hermite 3次插值，则在每个小区间1+i i 上，由第二章定理8知：1212)4(3,)()(!4)()(++≤≤--=-i i i i x x x x x x f x H tgx ξξ由于xx x x x tg 533)4(cos sin 24cos sin 16)(+=，所以在[]44,ππ-上， 802112421116)()4(=+=≤x tg442123245161!480)()(max !480)(1h h x x x x x H tgx i i x x x i i =⨯≤--≤-+≤≤+注意右端与i 无关，故在[]44,ππ-上，有：435)(h x H tgx ≤-。

解：因为010sin cos sin )(x txtxdt x x x f ===⎰，所以 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+==10)(2cos sin )(dt k tx t x x dx d x f k k k k π，因此11)(10)(+=≤⎰k dt t x f kk 。

（1） 若在区间[]1,0上用等距线性插值，则误差为：]1,0[,2418)()(222∈≤=-x h h M x L x f 对任欲使410)()(-≤-x L x f ，只须 048988979.010244=⨯<-h 。

（2） 若在区间[]1,0上用等距Hermite 3次插值，则误差为：]1,0[,165!41)()(!4)()()(4212)4(3∈⋅⨯≤--≤-+x h x x x x f x H x f i i 对任ξ欲使4310)()(-≤-x H x f ，只须 66195.0)10165!4(414=⨯⨯⨯<-h （3） 若在区间[]1,0上用等距样条插值，则由定理5，有：4)4(451161)(161)()(h x f h x s x f ⋅⋅≤≤-∞欲使410)()(-≤-x s x f ，只须 299069756.0)10165(14=⨯⨯<-h 。

6. 对sin x /x , 在[0，1]上取5个节点，求D 13次样条。

解 因2sin cos )(x x x x x f -='，所以：02sin )0(0=-='=x xf ，-0.30117)1(='f , 先作差商表1 0-0.16615 0 1-0.04154 -0.16304 0.25 0.989616 -0.12306-0.15388 0.5 0.958851 -0.2 -0.13905 0.75 0.908852 -0.26952 -0.12658 1 0.841471 -0.30117 1 0.841471从而形成三弯距方程组的增广矩阵：2 1 0 0 0 -0.99688 0.5 2 0.5 0 0 -0.97827 0 0.5 2 0.5 0 -0.92326 0 0 0.5 2 0.5 -0.8343 012-0.7595解得：M 1=-0.33438，M 2=-0.32813，M 3=-0.30966，M 4=-0.27977，M 5=-0.23987。

样条曲线为：7. 对f(x)=|x|，在[-1，1]上取5个等距节点，求3次自然样条插值。

解先作差商表-1 1 -1 0-0.5 0.5 -1 20 0 1 00.5 0.5 11 1从而形成三弯距方程组的增广矩阵：2 0.5 0 00.5 2 0.5 120 0.5 2 0解得：M1=-0（已知），M2= -1.71429=-12/7，M3= 6.857143=48/7，M4= -1.71429=-12/7，M5=-0（已知）。

样条曲线为：8. 对f(x)=|x|，在[-1，1]上取6个等距节点，求3次周期样条插值函数。

解先作差商表-1 1 -1 0-0.6 0.6 -1 1.25 -0.2 0.2 0 1.25 0.2 0.2 1 0 0.6 0.6 1 -2.5 1 1 -1 1.40.6注意：)()(21x f x f n =+，4.14.01121=+=-+=+x x x x n n ，从而形成三弯距方程组的增广矩阵：2 0.5 0 0 0.5 0 0.5 2 0.5 0 0 7.5 0 0.5 2 0.5 0 7.5 0 0 0.5 2 0.5 0 0.50.52-15解得：M 1=M 6= -8.18182，M 2= 1.363636，M 3= 2.727273，M 4= 2.727273，M 5= 1.363636。

样条曲线为：解：取节点521432121，作差商表： 11101201011121212121---- 对于自然样条，051==M M ，按公式（10）形成方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+==++==+0),,(6212),,(620),,(62543432143242132213213212x x x f M M x x x f M M M x x x f M M 解得：12,48,12432-==-=M M M 。

由（9）式即得样条函数的表达式（略）。

()Tn M M M X ,,,21* =，且令i ni i M M ≤≤=1max 0，则0i M ≠0，考察AX *=0的第i 0个方程：∑≠=-=n i j j j j i i i i M a M a 000001,,，有∑∑≠=≠=≤≤ni j j j i ni j j i j jii i a M M a a 0000001,1,,。

这与矩阵A 为严格对角占解：由于在1+i i 上是3次多项式，故在1+i i 上是1次多项式，而且满足111)(,)(+++''==''''==''i i i i i i y M x s y M x s ，因此可表示为iii i i i h x x M h x x M x s -+-=''++11)(于是积分两次并利用11)(,)(++==i i i i y x s y x s （1,+i i y y 为未知量）可定出积分常数：i ii i i i i i i i i i i i i i h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x s -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+++++666)(6)()(211123131 事实上，积分两次后，记iiii i i i i i i i i h x x d h x x c h x x M h x x M x s -+-+-+-=+++131316)(6)()(，再由11)(,)(++==i i i i y x s y x s 可定出i i d c ,。

于是：662)(2)()(112121i i i i i i i i i i i i i i hM h y h M h y h x x M h x x M x s ++++-++--+--='即：)(62)(),(62)(111111++++++-+-+='-+-+-='i i ii i i i i i i i i i i i i i i M M h h y y h M x s M M h h y y h M x s 若考虑在],[1i i x x -上，有),(62)(11111i i i i i i i i i M M h h y y h M x s -+-+='-----两边的)(i x s '应相等，即：)(62)(621111111++------+-+-=-+-+i i ii i i i i i i i i i i i i M M h h y y h M M M h h y y h M ，整理并记111,---+=+=i i i i i i i i h h h h h h λμ1,,3,2-=n i ，得： 1,,3,2),()(631111111111-=+---=-+---+-+--+-n i h M h M x x h h h h M y y y i i i i i i i i i i i i i i i i λμ若给定边界条件)(),(11n n x f y x f y ==，则形成方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++---=+--=+---=-+-++---=----------------+-+--+-nn n n n n n n n n n n n n n n i i i i i ii ii i i i i i i yh M h M x x h h h h M y y n i h M h M x x h h h h M y y y y h M h M x x h h h h M y y i 11222212111211111111111211231321212322)()(6312,,3),()(631)()(631λμλμμλ（1） 通过型值点：11++i i i i ，共有)1(2-n 个方程； （2） )(x s 的一阶导数连续，即1,,3,2),()(1-='='-n i x s x s i i i i 共有2-n 个方程。