函数的奇偶性与周期性专题练习
一、选择题
1.(2019·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg
x 2－2与y ＝ x sin x 为偶函数.
答案 B
2.(2019·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )
A.奇函数，且在(0，1)内是增函数
B.奇函数，且在(0，1)内是减函数
C.偶函数，且在(0，1)内是增函数
D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，
又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数，
所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数.
答案 A
3.已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A.x 1>x 2
B.x 1＋x 2＝0
C.x 1<x 2
D.x 21<x 22
解析 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x －e x ＝f (x ). ∴f (x )在R 上为偶函数，
f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x ＋1e x ， ∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，
由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，
∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.
答案 D
4.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，
解得g (1)＝3.
答案 B
5.(2019·西安一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )
A.2
B.1
C.－1
D.－2
解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，
∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，
又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.
从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.
∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.
答案 A
二、填空题
6.若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.
解析 由于f (－x )＝f (x )，
∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，
化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，
∴a ＝－32.
答案 －32
7.(2020·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析
式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f
⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f
⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝ －316＋sin π6＝516.
答案 516
8.定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________.
解析 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f
⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12
<x <0或x >12 三、解答题
9.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .
(1)判定f (x )的奇偶性；
(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.
解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ).
又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).
又f (x )的定义域为R ，
∴f (x )是偶函数.
(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，
则f (x )＝f (－x )＝x ；
进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，
f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.
故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0]，
x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].
10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0
是奇函数. (1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，
所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，
所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].
11.(2019·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1
，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4)
B.(－2，0)
C.(－1，0)
D.(－1，2) 解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，
∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，
∵f (1)<1，f (5)＝2a －3
a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1
<0， 解得－1<a <4.
答案 A
12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝()
A.0
B.2
C.3
D.4
解析y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案 B
13.(2019·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案7
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f (x )是以4为周期的周期函数，
所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，
得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，
即f (1＋x )＝f (1－x ).
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.
当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。