概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数2．设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则1()9E X -= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ （C ）1- （D ）13．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ]（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233E ξ- 4．设随机变量X 和Y 独立且在(0,)θ上服从均匀分布，则{min(,)}E X Y =(考研题 2011) [ C ] （A ）2θ （B ）θ （C ）3θ （D ）4θ二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,0.1，则()E X =2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -=3．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X +=4．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = *5．设随机变量(,1,2,,)ij X i j n =独立且同分布,()2ij E X =，则行列式111212122212n n n n nnX X X X X X Y X X X =的数学期望()E Y = (考研题 1999)0.5911615002或三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求().E X2．设随机变量2~(,)X N μσ，求(||).E X μ-3．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望。
（1）21X Y e -=； （2）2max{,2}Y X =； （3）3min{,2}Y X =3450.10.30.6()30.140.350.6 4.5X P E X =⨯+⨯+⨯=解：2222()+2202220(||)|)|x t t E X x dx tedte μσσσμμσ---+∞∞-∞-+∞-=-=-==⎰解：231002+222022022+22230020211(1)()|.33(2)()2+2()|(||)2+.(3)()+2||2()|1.x x x x x x x x x x x x x E Y e e dx e E Y e dx xe dx e xe e e E Y xe dx e dx xe e e e +∞---+∞∞----+∞-+∞-∞-----+∞-==-===⨯-+--===--+⨯-=-⎰⎰⎰⎰⎰解：概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ] （A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）362．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηληλ==（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 ()D X =2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D XE X = 4．设正态分布Y2(3)y --，则()D X =5．设随机变量X 服从参数为1λ=的泊松分布，则2{()}P X E X == (考研题 2008)三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3,0.5,0.2，求21Y X =-的期望与方差；0.45213121122e e -=222()10.320.530.2 1.9.()(1 1.9)0.3(2 1.9)0.5(3 1.9)0.20.49.()(21)2()1 2.8.E X D X E Y E X E X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯==-=-=2．设随机变量~(0,1)X N ，试求34()().E X D X E X E X 、、与3．设随机变量X 的分布密度为02()240axx f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量XY e =的期望与方差。
2222222222222222332443322(||)||2(||)(||)(||)()(||)(()())(||)1.()0()x x x x x x x E X x edx xedx deD XE X E X E X E X D X E X E X E X x edx E X x e dx x dex e π+∞+∞+∞----∞+∞--∞+∞+∞----∞-∞=====-=-=+-=-=====⎰22222|3() 3.x x edxE X +∞-+∞-∞-∞==24220224220222(1)856()26233335311(13),,1422444()d 12621112(2)()(2)(2)(1).443111(3)()(1)(1)444()()(x x E X a b c P X a b c a b c f x x a b c D X x xdx x x dx E Y e xdx e x dx e D Y E Y E Y +∞-∞⎫=⇒++=⎪⎪⎪<<=⇒++=⇒==-=⎬⎪⎪=⇒++=⎪⎭=-⋅+--==⋅+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰2422222222021111)(1)[(1)](1).4444x x e xdx e x dx e e e =⋅+---=-⎰⎰概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则 [ B ] （A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X Y 与相互独立 （D ）X Y 与不相互独立2．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 (考研题 2001) [ A ] （A ）-1 （B ）0 （C ）12（D ）1二、填空题：1．设随机变量(,)X Y 服从正态分布(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 。
2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 。
3．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，则()D X Y -= 。
三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表：试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。
2．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-.132737()10.375010.3750.()0.()(1)(1)0.125(1)0.125(1)0.1250.1250.()()().,(1,1)0.125,(1)(1)0.375.(1,1)(1)(1),,E X E Y E XY E XY E X E Y X Y P X Y P X P Y P X Y P X P Y X Y =-⨯++⨯===-⨯-⨯+-⨯+-⨯+=∴=∴=======∴==≠==∴不相关。
另外，不独立。
4()0,()4,()2,(),,3()()()0416()()()4.E X D X E Y D Y X Y E XY E X E Y D X Y D X D Y ====∴==+=+=+=且相互独立，3．设A 和B 为随机变量，且,111P(A )=,P(B |A )=,P(A |B )=432令（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数ρXY 。
(考研题 2004)4．（1）设随机变量2(3),()()0,()4,()16,0.5XY W aX Y E X E Y D X D Y ρ=+=====-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X YD X D Y σσ==。
证明当222X Ya σσ=时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
⎧⎧==⎨⎨⎩⎩1,发生；1,发生；0，不发生；0，不发生.A BX Y A B 1()11(1)()()(|);(),()()();12(|)6612()()();()=1().123\01()213031241111612451()166i j PAB P AB P A P B A P B P AB P A P AB P A B P AB P B P AB P AB P A B X Y P X x P Y y =====-==-=-===221111(2)(),(),(),()4646351(),(),().163612XY E X E Y E X E Y D X D Y E XY ρ=======∴===22222222222(1)()()()4,()()()16.()()()0.524 4.()(69)()6()9()4(3)108.3()108.(2)(,)()()XY E X D X E X E Y D Y E Y E XY E X E Y E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y a a E W W V W V E W E X ρ=+==+===-⨯⨯=-∴=++=++=-+∴=∴=当时，最小，为服从二维正态分布，与相互独立等价于不相关。