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0 2.125 3 2.125 0
试计算积分的梯形值，，以及Simpson值，。 解：，，。 ，。 九、试设计求积公式 使其代数精度尽可能地高，并指明求积公式所具有的代数精度。 解：设公式对函数是精确的，得 解之得：，。 求积公式为：。 又代入，左，右。故公式具有2阶代数精度。 十、证明，用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题
Байду номын сангаас研究生课程考试试题
课程名称： 计算方法
考试类型（考试或考查）：
考试
年 级： 2009
学时： 80 考试时间： 120
专 业：
学生姓名:
学号:
一、取，计算。计算结果有多少位有效数字？怎样改进计算？ 解：，计算结果至多有一位有效数字。利用恒等式可提高计算精度。
二、证明方程在区间内有唯一根，用二分法计算的近公似值时，试确定 迭代次数使（不要求计算）。
解：1），，由根的存在定理知，在区间内至少有一个根。又当时，， 在区间内内严格单调增加。故在区间内有唯一根。 2）用二分法计算的近公似值时，有。要，只要。解之得，取，得迭代 11次，使。 三、求矩阵 的Crout分解和Doolittle分解。 解：1）Crout分解：设=，得 ，，，，，，，，。得。 2）Doolittle分解： 。 四、设 计算，以及。 解： ，，又的特征值为3，2，0。故。 五、用Jacobi迭法解方程组
， 对任意的值得到的近似解都是相同的。
证明：改进的Euler公式为：，初值问题的改进的Euler公式为。 变形的Euler公式为：，初值问题的变形的Euler公式为 故用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题
， 对任意的值得到的近似解都是相同的。 十一、求隐式Euler公式的绝对稳定区间。 解：选取试验方程： ，由推出 为使不超过，应有 得绝对稳定区间为。
0
0.3
0.6
0.9
1.000006 0.9850674 0.9410708 0.8703632 试用线性插值求和的近似值。
解：由于介于0与之间，取0与为节点进行线性插值。 由于介于与之间，取与为节点进行线性插值。
七、已知以下数据：
1
2
3
4
5
0
2
2
5
4
试用一次多项式按最小二乘原理拟合以上数据。 解：矛盾方程为 法方程为 解法方程得：，。得拟合函数为。 八、已知函数在若干点处的值：
， 是否收敛，若不收敛，则能否改写此方程组使得Jacobi迭代法收敛？ 解：Jacobi迭法的迭代矩阵为
， 特征方程为：，因，，得在区间有一根。由此得，特征根的最大模一定 大于1，即。故Jacobi迭法发散。
将方程组改为，则系数矩阵是严格对角占优的，Jacobi迭代法收敛。 六、已知函数在若干点的函数值：