先求电势再求场强
8 等势面与电场线的关系 电场线与等势面处处正交。 电场线越密的地方，等势面也越密
E U
在直角坐标系中
r 抖 r U E= - ( i + 抖 x U r j+ y U r k ) z
UP
4
dq
0
Байду номын сангаас
r
r:
dq
到P点的距离
思考：真空中有一点电荷Q ，在与它相距为 r 的 a 处 有一试验电荷 q 从 a 点沿半圆弧轨道运动到 b 点， 电场力对 q 做功为？
Ua Q 4 0 r
Ub Q 4 0 r
b
Q
r
a
Aa b 0
Aab q 0 (U a U b )
6.电势
A B 两点的电势差
U AB

B A
E dl
电场力所作的功如何用电势差表示出来
A A B q 0 (U A U B )
沿着电场线方向，高电势到低电势。
电势的计算
求电势的两种方法：
(A)
(B)
UP

"0" P
E dl
求场强非常方便时用
规定无穷远为零势能点，利用：

q2 4 0 R 2 q2 4 0 r
3
3 :U 2

图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
•
R1 o
R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
r

2 0 r
0
r
4.均匀带正电无限大平面的电场
E=
E

2 0
x E
E
x
思考：均匀带电同心球壳内外的场强分布
2 e1 E1 dS E1 r 0 4
S
E1 0
1
2
q1 q2
e2
q1 2 E2 dS E2 r 4
r x p
x
+
零电势点：

C. 均匀带电球面的电场中的电势分布
U
q 4 0 R
U = q 4p eo r
r
零电势点：

R
均匀带电同心球壳内外的电势分布
q1
O
1
2
q2
1 :U1
q1 4 0 R1

q2 4 0 R 2
2 :U 2
q1 4 0 r q1 4 0 r
dq dl ad
dE y
2dq 4 0 a
2
co s
d
x
0

2 co s 4 0 a

dE y
Ey

2 0

co s
2 0 a
d
y轴负向
三个重要例题：
1 求均匀带正电细棒中垂面上的场强分布。
Ey
a
无限长
Ey

2 0 a
• 解：取半径为 r ，厚 dr的带电球球层，在 该球层空腔内的电势 为： • dU = 4 r2dr/4Or • = rdr/O • U = dU= R1R2 rdr/O
dr
r o
R1
R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
2
4 r2
2
q1 q2
Uo
q1 4 0 r1

q2 4 0 r2
（1） U o
q1 q2
' （2） U O
r1 0

r2 0
300V

r1 0

' r2 0
0
放掉的电荷
7 电势梯度与电场强度的关系？ 在直角坐标系中
r 抖 r U E= - ( i + 抖 x U r j+ y U r k ) z
• 解：取半径为 r ，厚 dr的带电球球层，在 该球层空腔内的电势 为： • dU = 4 r2dr/4Or • = rdr/O
dr
r o
R1
R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
思考：A点与B点间的距离为 2l ，OCD是以B为中心， 以 为半径的半圆路径。A,B两处各放有一点电荷， l q Q 电荷分别为 和 q 。把另一电荷为 的点电荷从D 点沿路径DCO 移到O点，电场力所作的功？
C
UD q 4 0 l q 4 0 (3 l )
q 4 0 l

q 6 0 l
0
l
A
q
O
2l
B q
D UO
q 4 0 l
A D O Q (U D U O )
4个重要结论
A.点电荷的电势
UP
q 4 0 r
U
+
r
零电势点：

B.均匀带电圆环轴线上任一点P 处的电势
dq = l dl
UP
q 4 0 r
+ + R+ o + + + + +
• 解：取半径为 r ，厚 dr 的带电球球层，在该球 dr r R1 层空腔内的电势为： o 2dr/4 r • dU = 4 r O • = rdr/O • U = dU= R1R2 rdr/O R2 2 - R 2 ) / 2 本题也可以先求出各区域 • = ( R2 1 O
的电场强度，再积分得到。
两个同轴长直带电圆筒：求两个圆筒之间的电势分布
已知内筒电势：U
A B
A B
r
U
已知外筒电势： U
AB


B A
E dr
E :
内筒的贡献+外筒的贡献
E

2 0 r
0
U
A B
A
UB

B A
E dr
r


RB RA

2 0 r

2 0
• 解：取半径为 r ，厚 dr的带电球球层，
dr r o R1
R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
• 解：取半径为 r ，厚 dr的带电球球层，在 该球层空腔内的电势 为：
dr
r o
R1
E
B
C
E
B
C
A
B
C
E
A
E
B
C
A
A
分析
正电荷所受电场力和
E
方向一致
v
B
C
F m a Eq
A
3.电场强度的计算
r E =
ò
v dE
1 4
0

dq er 2 r
重点掌握： 电荷线分布
E 1 4 0

dl
r
2
e
r
y

R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
• 解：取半径为 r ，厚 dr的带电球球层，在 该球层空腔内的电势 为： • dU = 4 r2dr/4Or •
dr
r o
R1
R2
图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1 ，外表面半径为 R2 。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一 点的电势 U。
dr
U

2 0
UB RB RA
ln
RB RA

A
ln
U
A
Ur

r RA

2 0 r
dr

2 0
ln
r RA
Ur ?
Ur
U
AB


B A
E dl
R
如何求？
E :
A
B
金属圆筒的贡献+直导线的贡献
x
0
E

2 0 x
U
AB


B A
E dl
S
0 S内
4个重要结论：
1.均匀带电球壳内外的场强分布
E
E 0
E
q 4 0 r
2
0
R
r
2.均匀带电球体内外的场强分布
E qr 4 0 R
3
E
E
q 4 0 r
2
0
R
r
3 均匀无限长带电圆柱体的电场分布
E
r
2 0 R
2

2 0 r
R 0 均匀无限长带电圆柱面的电场分布 E
d 0
d
0
x0
x
平板内部: (高斯定理)
E
S
E
2 SE2
E2
( 2 x0 ) S 0
x0 0
( d x0 )
d