《复变函数》教案目录第一次课………………复数第二次课………………复平面上的点集第三次课………………复变函数复球面与无穷远点第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程第五次课………………初等解析函数第六次课………………初等多值函数第七次课………………复积分的概念及其简单性质第八次课………………柯西积分定理第九次课………………柯西积分公式及其推论第十次课………………解析函数与调和函数的关系第十一次课……………复级数的基本性质第十二次课……………幂级数第十三次课……………解析函数的泰勒展式第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理第十五次课……………解析函数的洛朗展开式第十六次课……………解析函数的孤立奇点第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念第十八次课……………留数第十九次课……………用留数计算实积分第二十次课……………辐角原理及其应用第二十一次课…………解析变换的特性第二十二次课…………分式线性变换第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习第一次课：复数一．教学目的：1．掌握复数的四则运算及共轭运算；2．熟练掌握复数的各种表示法；3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。

二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。

三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。

四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。

六．教学过程：[引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。

●复数的基本概念（约5分钟）1．虚数单位。

2．实部与虚部。

3．共轭复数。

●复数的四则运算（约20分钟）1．复数的加、减、乘和除法运算。

2．复数运算的性质。

举例并让学生穿插进行练习。

●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。

2．复数的模与幅角。

3．复数模的三角不等式。

利用几何图形直观地解释。

●复数的三角表示（约25分钟）1．复数的三角表示2．用复数的三角表示作乘除法。

3．复数的乘方与开方举例并让学生穿插进行练习。

七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟）第二次课：复平面上的点集一. 教学目的：１．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念；２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。

二. 教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念三. 教学难点：求复平面上曲线的复方程。

四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上节课内容，引出本课题的内容。

●开集与闭集（约20分钟）1．介绍邻域的概念及几何图形2．平面点集（开集、闭集、内点、边界点、有界集、无界集等）3．区域举例并让学生穿插进行练习。

●平面曲线（约20分钟）1.平面曲线的复值函数表示2.简单曲线及简单闭曲线。

3.若当曲线定理。

4.单连通区域和多连通区域举例并让学生穿插进行练习。

●无穷大与复球面（约35分钟）1．扩充的复数系统及其四则运算。

2．扩充复平面3．复球面七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟）第三次课：复变函数复球面与无穷远点一．教学目的：１．理解复变函数以及映射的概念；２．了解复变函数与而二元实函数的关系；３．了解复变函数的极限与连续的概念、性质；４．熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系；５．理解复变函数的导数以及解析函数的概念；６．掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。

７．熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程。

8、了解复球面与复平面的关系；9.了解无穷远点与复球面上的哪一点相对应；10.理解广义极限与广义连续的概念。

二．教学重点：复变函数以及映射的概念，解析函数的概念；函数解析性的判别。

三．教学难点：复变函数的极限存在性判别和用导数定义求复函数的导数四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）复习上节课内容，引出复变函数的概念。

●复变函数的概念（约15分钟）主要讲解单值函数与多值函数的概念，特别详解多值函数概念。

通过例题的讲解使学生对之掌握。

●复变函数的极限与连续性（约20分钟）１．复变函数的极限与连续概念２．复变函数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区联系３．有界闭区域的复连续函数性质举例并让学生穿插进行练习。

●复变函数的导数（约5分钟）介绍复函数的可导、可微等概念，通过讲解例题帮助学生理解●解析函数的概念与求导法则（约10分钟）１．解析函数的概念２．求导的四则运算３．复合函数的求导法则●函数解析的一个充要条件（约15分钟）以推理的方式给出函数解析的一个充要条件：柯西-黎曼方程；通过讲解常数函数的部分充分条件加深学生对该充要条件的理解●复球面（约5分钟）●扩充复平面的几个概念（约5分钟）七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟）第四次课：解析函数的概念与柯西-黎曼方程一．教学目的：1、了解复数域中函数可导、解析与连续的定义；2、理解可导、解析与连续的关系；3、充分掌握解析函数的运算法则、C-R 条件及有关定理与公式；4、深刻理解解析函数的等价刻画定理的内容及涵义。

二．教学重点：C-R 条件及有关定理与公式三．教学难点：解析函数的等价刻画定理的内容及涵义四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容●复变函数的导数与微分（约10分钟）给出调和函数的概念，证明解析函数的虚部和实部都是调和函数●共轭调和函数（约10分钟）给出共轭调和函数的概念，引出函数解析的另外一个充要条件●解析函数及其简单性质（约25分钟）●柯西-黎曼条件（约35分钟）1.证明定理2. 可微的充要条件3. 可微的充分条件课程小结 （约5分钟）七． 布置作业和预习第五次课：初等解析函数一． 教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质； 4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；二．教学重点：指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质三．教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]： （约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容● 指数函数及其性质 （约25分钟）● 三角函数与双曲函数及其性质 （约25分钟）通过讲解例题让学生掌握共轭调和函数的求法；八． 课程小结 （约5分钟）九． 布置作业和预习第六次课：初等多值函数一． 教学目的：1、了解幂函数w=nz 、指数函数ze =ω的单叶性区域； 2、了解根式函数)2(≥=n z n ϖ、对数函数Lnz =ω与幂函数、指数函数的关系3、了解具有多个支点的多值函数；二．教学重点：幂函数w=n z 、指数函数z e =ω的单叶性区域三．教学难点：分出根式函数与对数函数的单值解析分支四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容●根式函数及其性质(约15分钟)●对数函数(约10分钟) ●一般幂函数与一般指数函数(约15分钟) ●具有多个有限支点的情形（约20分钟）●反三角函数与反双曲函数（约10分钟）十．课程小结（约5分钟）十一．布置作业和预习第七次课：复积分的概念及其简单性质一．教学目的：1．了解复积分定义，熟练掌握复积分的基本性质2．掌握复积分计算的一般方法。

二．教学重点：1。

复积分的定义和一般计算方法；2．复积分的基本性质。

三．教学难点：1。

利用复积分的定义求复函数的积分2．利用复积分的性质5来估计给定函数复积分的上界四．教学方法：启发式、讨论式五。

教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，由实变函数的线积分概念引入复变函数的线积分●复积分的定义与计算（约40分钟）1.复积分的定义2.定理的证明，该定理是将复积分与实变函数中线积分联系到一起，提供了计算复积分的另外一条途径。

3．例题讲解。

该部分讲解课本P57-58的例，为了让学生掌握计算方法，例题的讲解速度适中，以引导式教学为主。

要向学生指出：例中的积分与路径有关而其余与路径无关，为后面教学做铺垫。

●复积分的基本性质（约35分钟）1.向学生介绍复积分的五个基本性质，性质5的证明要求在黑板上写出，其余可要学生自己完成2.例题讲解：例、，其中例的后半部分可以要求学生在完成。

七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习（约5分钟）第八次课：柯西积分定理一． 教学目的：１．理解柯西定理，掌握复合闭路原理２．了解变上限函数的性质３．复不定积分与原函数的概念４．牛顿莱布尼茨公式。

二．教学重点：1．柯西定理2．牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的复积分公式三．教学难点：1．柯西定理的推广形式2．原函数概念的引入四．教学方法：启发式、讨论式五。

教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]： （约5分钟）简单回顾上课题的内容：由上单元的例题（积分与路径的关联性）引出本课主题。

● 柯西定理 （约20分钟）１．定理：设函数)z f （在单连通区域D 内解析，则)z f （在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分为零２．定理：设函数)z f （在单连通区域D 内解析，则)z f （在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分与路径无关通过例题的讲解巩固对定理 的理解，同时对上单元例题从理论上加以解释。

● 多连通域上的柯西定理 （约30分钟）1． 闭路变形原理（定理）2． 复合闭路定理该部分的定理提供了一套将在任意曲线上的复积分转化为在特殊曲线上的积分有效方法，通过讲解例题帮助学生理解这两个定理的作用● 实函数定积分的推广 （约30分钟） １．复变函数的原函数概念的引入２．牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的复积分公式通过例题讲解，让学生掌握该定理的方法并要求学生作题。

七． 课程小结 （约5分钟）八． 布置作业和预习第九次课：柯西积分公式及其推论一． 教学目的：1．熟练掌握柯西积分公式2．熟练掌握高阶导数公式。

二．教学重点：柯西积分公式及其一系列的应用三．教学难点：1．最大模原理2．解析函数的高阶导数公式四．教学方法：启发式、讨论式五。