第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点
教学课题：第一节解析函数的洛朗展式
教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质；
2、充分掌握洛朗级数与泰•勒级数的关系；
3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数
教学重点：掌握洛朗级数的展开方法
教学难点：掌握洛朗级数的展开方法
教学方法：启发式、讨论式
教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

教学过程：
1、双边基级数
在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。

首先考虑级数
00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 +
・・・ + 0_〃（Z-Z（））-" +・・・
其屮堤复常数。

此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级
z_z°
数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝
R
对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。

同样，如果/? = +oo,那么此级
R
数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。

在上列情形下，此级数在z = z。

没有意义。

于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在
| z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。

R
2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数
工0“（Z-Zo）",
这里勺,爲3=0±口2…是复常数。

当级数
乞伏（z - z°y及乞仇d -
川=0 /?=-!
+8
都收敛吋，我们说原级数£A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo
和函数相加。

设上式中第一个级数在|z-z0\<R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，
第二个级数在I z-z（）|>尺内绝对收敛并且内闭一致收敛。

于是两级数的和函数分
别|z-z0|</?2及|z-z°|>K在内解析。

又设&V&,那么这两个级数都在圆环
D:R l<lz-z0\<R2内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数乞伏（z-z$在
7l=—oo
这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。

我们称级数£%（z-Z。

）"为洛朗级数。

因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析川二一oo
函数，我们也有
定理5・1 （洛朗级数）设函数/（z）在圆环：D:R} <\ z - z0\< R2（0 < R} < R2
<+oo）
内解析，那么在£>内
/(z)=工匕(z-z。

)",
/|=-00
其中,
%哙嫁go,±1,±2,…)
y是圆I z-z01= p.p是一个满足& <P<R2的任何数。

证明：设Z是圆环D内任一点，在D内作圆环D'：/?'] v|z-Zo |<尺2‘‘使得zeD\这里咕心帆小。

用耳及G分别表示圆|z — Zol=/?[及|z —Zol=/?2‘。

由于/（G在闭圆环D上解析，根据柯西定理，有
其中积分分别是沿及「2关于它们所围成圆盘的正向取的。

当^G T2时，级数
1 1 1 1
------- =----------------------- =---------- • -------------
g-z（）-（z-Zo）$-Z（）[ Z-z°
二〒（Z_Z。

）"
£c z。

）曲
一致收敛；而当^er；时，级数
__ 二1 二节（—））”
§ _ z （z- z0）（l- "=o （z _ z°）刊
z_z°
一致收敛。

把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到/U）有展式
/(z)= £%(z — z。

)",
M=-00
其屮,
/(G 市茗,(〃=0,1,2,・・.)乙12沁《譽曲十•••）
由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。

注解1、由于函数./（Z）的解析区域不是单连通区域，所以公式好旦肖^'（"“出垃…）不能写成：°”
+00 _8
注解2、我们称工乞（z-z°）“为比）的解析部分，而称工％（z-z。

）"为其主要部/?=0 n=-l
分。

注解3、我们称£%（z-z（y,为沧）的洛朗展式。

”=一8
+8
定理5・2设洛朗级数工禹（z-z。

）”在圆环
"=-8
D: R[ <1 z-z01< R2（0 < R}< R2< +OO）
中内闭一•致收敛于和函数g（z）,那么此展式就是在D内的洛朗展式:
纟⑵二2伏(z-zj.
”=-oo
证明：现在把系数用g ⑵计算出來。

在D 内任取一圆Z :|z-z 0|=p(/?I <p</?2),用 乘2^(Z ~Z()yk ~l 以定理屮展式的两边，然后沿卩求积分。

由于所讨论的级数在 卩上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有
占曲=il (Z_ Zo)/"1 dZ = A
伙=0,±l,±2,…)
这里因为上式屮求和记号左 后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成
注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明, g ⑵在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式 的唯一性定理：
推论5・1在定理5.1的假设下，/(z)在D 的洛朗展式式唯一的。

例1、求函数——!—— 分别在圆环l<|z|<2及2v|z|v+oo 内的洛朗级数展式。

(z-l)(z-2)
解：如果l<|z|<2,那么|-|< 1,|丄|vl,利用当|Q|vl 时的幕级数展式 2 z
----- =1 + Q + (X^ +... + CX H
+...
\-a
我们得 7
I 如果2<|Z|< +oo,那么|-|< 同样，我们有
z z 1 1 +<x> Q/l —l 1 1 1 _ T 1 -V 2 V 丄 _V
---------- = ----------- 一 ----- 9 ------------ 一乙-一乙乙 (z-l)(z-2) z — 2 z-l z(l--) z(l--) “=1 Z “=1 Z
Z Z
例2、 漳及沁在0 V z |v +oo 内的洛朗级数展式是:
Z Z
工］吕2"一_1 H=1 (z-l)(z-2) z-2 z-l
J, i 3 / i \ 2 刃一1
sinz 1 z z (—1) z
z2z 3! 5! (2n + l)!
sinz t z2z4(-l),?z2/,
Z 3! 5! (2H +1)!
1
例3、e2在Ov|z|v+oo内的洛朗级数展式是：
! , 1 11 1 1
— 1H - 1 --- + … ---------- …o
Z2! Z271! z"
例4、求函数 ------------ 在圆环l<|z|<3内的洛朗级数展式。

(Z2-1)(2-3)
解：由于l<|z|<3,那么|-|<1,|-|< 1,利用当|Q|V1时的幕级数展式z 3
----- =1 + Q + (X^ +... + CX n +... \-a 我们得
1 _ 1 __ z + 3 —丄 __________ z ______ 3_
(Z2-1)(Z-3) ~ 8 7^3 ~ z2-l ~8 7^3~Z2-1~Z2-1
z2-l
所以，有
-foo
Q Z”
2“+12〃—1 畀=0 °??=0 z 2n-2
).。