对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
第二类曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ),
到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,


f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 , x ( t ), L的 参 数 方 程 为 ( t )其 中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 则
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx. ( a b )

L
f ( x , y )ds
b
a
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c

推广
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy. (c d )
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )


Pdx Qdy Rdz

{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt

L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt


( )
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
特殊情形
(1) L : y ( x ) a x b.
上连续时, 第二类曲线积分存在.
推广
空间有向曲线弧

n i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้

Pdx Qdy Rdz .


P ( x , y , z )dx lim P ( i ,i , i )xi .
0
Q ( i , i , i )yi . Q( x, y, z )dy lim 0 i 1 R( i , i , i )zi . R( x, y, z )dz lim 0 i 1


特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx.
( 2) L : x x ( y )
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y), y]x ( y) Q[ x ( y), y]}dy.
一、基本内容
1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）

L
f ( x , y )ds lim f ( i ,i ) si
0
i 1
n
2.存在条件： 当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时,
对弧长的曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
3.推广
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为
第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）
其中 F Pi Qj ,
L P ( x, y )dx L Q( x, y )dy P ( x , y )dx Q( x , y )dy LF ds. L
ds dxi dyj .
存在条件： 当P ( x , y ), Q( x , y )在光滑曲线弧L
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )


f ( x , y , z )ds

f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数, 且 2 ( t ) 2 ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
{ P[ ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t )] ( t )}dt
n
性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则

L
Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy.
1 2
( 2) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则

L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy L P ( x, y )dx Q( x, y )dy