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第一章第2-3节 几种常用的函数与反函数

1、定义:函数 y=tanx,x(

2


2
)上的反函数
称为反正切函数,记作 y=arctanx。
2、反正切函数的图像
3、性质
①y=arctanx 的定义域 D= R,值域 M=( , ) ; 2 2
②y=arctanx 在 R 上是单调增函数; ③y=arctanx 是奇函数,即 arctan(-x)=-arctanx, x R,其图像 关于原点对称。 ;
0, 上的反函
数称为反余弦函数,记作 y=arccosx。
2、反余弦函数的图像
3、性质
①y=arccosx 的定义域 D=[-1,1],值域 M=
0, ;
②y=arccosx 在区间[-1,1]上是单调减函数,最大值为 ,最小值 为 0; ③y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数; ④y=arccosx 是有界的,即 arccos x ; ⑤arccos(-x)= -arccosx。
④y=arctanx 是有界的,即 arctan x ; 2
五、反三角函数 (三)反余切函数
1、定义:函数 y=cotx,x (0, )上的反函数称为 反余切函数,记作 y=arccotx。
2、反余切函数的图像
3、性质
①y=arccotx 的定义域 D= R,值域 M=(0, ) ; ②y=arccotx 在 R 上是单调减函数; ③y=arccotx 既不是奇函数也不是偶函数; ④y=arccotx 是无界的。
,arccot 3 =
, ,
,arccot(- 3 )=
练习答案 arctan0= 0 ,arctan
3 = 3 6
,arctan 3 =
3
2、余弦函数的图像
y cos x
3、性质
(1)y=cosx 的定义域为 R,值域为[-1,1]; (2)y=cosx 在 R 内有界,即 cosx 1 ; (3)y=cosx 是偶函数,即 cos(-x)=cosx,其图像关于 y 轴对称; (4)y=cosx 是周期函数,最小正周期 T=2 , 即 cos(x+2k )=cosx,k Z; (5)当 k Z 时,y=cosx 在区间[ 2k , 2k ]上是单调递减的, 在区间[ 2k , 2 2k ]上是单调递增的; 当 x= 2k , k Z 时,y 取得最大值,y max = 1, 当 x= 2k , k Z 时,y 取得最小值,y min =- 1,
1 解: y 2 x 3 解出x得 x ( y 3). 2
函数y=2x–3的反函数为
1 y ( x 3) 2
y
y 2x 3
y x
1 y ( x 3) 2
0
x
练习: 求函数 y 1 x , x R且x 1 的反函数, 并求反函数的定义域。
1 2
y=x 的定义域为 x x 0
1 2
(2)当 >0 时,y=x 在(0, )是单调增加的。 当 <0 时,y=x 在(0, )是单调减少的。 (3)幂函数的奇偶性是由 的值确定的,是无界的, 没有周期性。
二、指数函数
1 、 定义: 函数y a x (a 0, a 1)叫做指数函数
1 x
解:由 y 1 x 得, x
1 x
y 1 y 1
把 x、y 对调, 得函数 y 反函数的定义域为 x x R且x 1
1 x x 1 , x R且x 1 的反函数为: y 1 x x 1
一、幂函数
1 、 定义: 称函数y x (常数 0, R)为幂函数
2、图像:
y a x (0 a 1)
y ax
(a 1)
3、性质:
(1)指数函数的定义域是( , ) , 值域为(0, ) (2)指数函数的图像都经过点(0,1) (3)当 >1 时, y a 在( , )是单调增加的。
x
当 0< <1 时, y a 在( , )是单调减少的。
(三)正切函数
1、定义: y tan x 2、正切函数的图像
y tan x
3、性质
(1)y=tanx 的定义域为 x x R且x (2)y=tanx 是无界的; (3)y=tanx 是奇函数,即 tan(-x)=-tanx,其图像关于原点对称; (4)y=tanx 是周期函数,最小正周期 T= , 即 tan(x+k )=tanx,k Z; (5)当 k Z 时,y=tanx 在区间( 增的。
2

2
2 k ,

2
2k ]上是单调递

3 2k ]上是单调递减的; 2
当 x=

2
2k , k Z 时,y 取得最大值,y max = 1,
当 x=- 2k , k Z 时,y 取得最小值,y min =- 1,
2

(二)余弦函数
1、定义: y cos x
第 2 -3节 几种常用的函数及其图像
反函数
反函数
1、定义:设函数 y=f(x)是定义域为 D,值域为 M,若对 于任意 y∈M ,如果有唯一确定的满足 y=f(x)的 x∈D 与 之对应,则得到一个定义在 M 上以 y 为自变量的函数, 我们称它为函数 y =f (x)的反函数,记作 x=f 1 (y)。 习惯上,常用 x 来表示自变量,y 表示因变量,所以我 们可以将反函数改写成 y=f 1 (x)。
2、反函数的图像
y
原函数y f ( x)
Q ( b, a ) P (a , b)
反函数y f 1 ( x)
o
x
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3、几点说明: ①原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)是相互的; ②只有单值对应才有反函数; ③原函数 y=f(x)的定义域是反函数 y=f 1 (x)的值域, 原函数 y=f(x)的值域是反函数 y=f 1 (x)的定义域; 求原函数的值域可以通过求其反函数的定义域得到 ④原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)的图像关于直线 y=x 对称; ⑤原函数 y=f(x)与反函数 y=f 1 (x)具有相同的单调性;
y x
(1,1)
2、图像:
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
3、性质:
(1)幂函数 y=x 图像都过点(1,1) ,不论 取何值, y=x 在(0, )内总有定义,其定义域是由 的值确定的。 如,y=x 2 的定义域为 R, y=x 1 的定义域为 x x 0, y=x 的定义域为 x x 0,
arcsin (
2 )= 2 4
2 3 练习:arcsin0= ,arcsin = ,arcsin = ,arcsin1= 2 2 3 1 ( ) arcsin = ,arcsin(- )= ,arcsin(-1)= 2 2
五、反三角函数 (二)反余弦函数
1、定义:函数 y=cosx,x


2、反正弦函数图像
3、性质
①y=arcsinx 的定义域 D=[-1,1],值域 M= , ; 2 2

②y=arcsinx 在区间[-1,1]上是单调增函数,最大值为 ,最小值 2 为 - ; 2
③y=arcsinx 是奇函数,即 arcsin(-x)=-arcsinx, x [-1,1],其图 像关于原点对称。
x
(4)指数函数不是奇函数也不是偶函数,是无界的, 没有周期性。
三、对数函数
1、定义:称函数 y loga x (a>0 且 a 1)为对数函数。
2、图像:
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log a x(0 a 1)
3、性质:
(1)对数函数的定义域是(0, ) , 值域为( , ) (2)对数函数的图像都经过点(1,0) (3)当 >1 时, y loga x 在(0, )是单调增加的, 当 0< <1 时, y loga x 在(0, )是单调减少的; (4)对数函数不是奇函数也不是偶函数,是无界的, 没有周期性。
☆除了上述正弦、余弦、正切、余切 4 个函数外,三角函数还包括 正割函数和余割函数,
1 正割函数 y=secx= cos x
1 余割函数 y=cscx= sin x
五、反三角函数 (一)反正弦函数
1、定义:函数 y=sinx,x , 上的反函数称为反正弦函数, 2 2 记作 y=arcsinx,其定义域 D=[-1,1],值域 M= , 。 2 2
④y=arcsinx 是有界的,即 arcsin x ; 2
⑤sin(arcsinx)=x。
1 例题:求①arcsin , 2
②arcsin (
1 sin = 2 ,且 2 , 2 6 6
2 ) 2 1 arcsin 2 = 6
2 sin( )= ,且 , 2 4 4 2 2
1 例题:求①arccos , 2
1 cos = 2 ,且 3 3
②arccos (

0,
2 ) 2 1 arccos 2 = 3
3 cos = 4
2 3 ,且 0, 2 4
2 3 )= 2 4
arccos (
2 另 cos = ,且 4 2 4
四、三角函数 (一)正弦函数
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