1I(a,b) 2ax2b x dx2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： ________ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12 3x 2cosx 0根的迭代法/ 2X ki 4 cosx k3（1） 证明对X o R ,均有lim X k x *,其中X *为方程的根.k（2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 3 1, 2x 1 2x 2 x 30.0 0a非病态的。
（范数用HI ）求f （X ）的Hermite 插值多项式H 3（x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ） 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （T ）的试验数据为已知经验公式的形式为 y ax bx 2，试用最小二乘法求出a ， b、（8分）若矩阵A 2a a 00 a 0，说明对任意实数a0，方程组AX b 都是四、（15六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分、（15分）设求方程 12 3x 2cosx 0根的迭代法取得最小值。
七、（14分）已知Legendre 勒让德）正交多项式L n （x ）有递推关系式:L o (x) 1, L i (x) x (n 1, 2,)试确定两点的咼斯一勒让德（G — L ）求积公式11 f （x ）dx 入仁花）A 2f （x 2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分12 一e x dx1八、（14分）对于下面求解常微分方程初值冋题dx f （x,y ）的单步法: y （x 。
） y 。
11 y n 1 y n h(?k 1 - k 2)k 1 f(X n ,y n )k 2f(X n h, y n hkj（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
X 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 31, 2x 1 2x 2 x 30.L n 1(X )2n 1n 1xL n (x) L n 1（X ）2 x k1 4 cosx k 3（1）证明对 x oR ,均有lim X k x ，其中x 为方程的根.k（2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.求f （x ）的Hermite 插值多项式H s （x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ）五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x 「C ）的试验数据为取得最小值七、（14分）对于求积公式： bn(x)f (x)dxA k f (X k ),其中：(x)是区间(a,b)a上的权函数。
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过 2n-1次; （2） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明y ax bx 2，试用最小二乘法求出a ,b 。
六、（12分）确定常数 a , b 的值，使积分22A kk 1(x)dxy n i y n h (2 k i - k 2) k i f(X n 』n ) k 2f (X n h, y nhk i )（3） 验证它是二阶方法； （4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
、（15分）设（X ）导数连续，迭代格式X k 1 （X k ） 一阶局部收敛到点x *。
构造新的迭代格式：X k 1 X k（X k ）问如何选取常数 及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛 四、（15分）已知y f （x ）的数据如下：八、（14分）对于下面求解常微分方程初值冋题dx f （x,y ）的单步法: y （x 。
） y 。
X 1 2x 2 2x 3 、（8 分） X 1 2x 1 X 2 X 3 2X 2X 31, 1, 0.若矩阵A2a0 00，说明对任意实数a 0，方程组AX b 都是 非病态的。
（范数用|| ||求f （x ）的Hermite 插值多项式H 3（x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ） 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x 「C ）的试验数据为取得最小值七、（14分）对于求积公式： bn(x) f (x)dxA k f(X k ),其中：(x)是区间(a,b)a上的权函数。
（3） 证明此求积公式的代数精度不超过 2n-1次; （4） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明(x)dx（5） 验证它是二阶方法； （6） 确定此单步法的绝对稳定域2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： ____________ 姓名： ____注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程y ax bx 2，试用最小二乘法求出a ,b 。
dx f (x, y)的单步法:八、（14分）对于下面求解常微分万程初值冋题y （x 。
） y 。
y n 1 y n h(* k 1k 1 f (X n ,y n )k 2 f (X n h, y nhkjk 1a六、（12分）确定常数 a , b 的值，使积分22A k组Ax b 为2 1 x ,7 1 1 X 23(1) 用Doolittle 分解法求解方程组； (2) 求矩阵A 的条件数Co nd (A)二、 (12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为12n，为求解方程组Ax b ，建立迭代格式 x (k 1) x (k) (b Ax (k))，求出常数 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、 (12分)已知数据试用二次多项式p(x) ax 2 bx c 拟合这些数据 四、(14分)已知y f(x)的数据如下：(1) 求f (x)的Hermite 插值多项式H 3(x)；…… _ 一……33(2)为求 1 f (x)dx 的值，采用算法：1 f(x)dx1 H 3(x)dx R试导出截断误差R五、(12分)确定常数a ，b 的值，使积分1x2I (a, b)o (ax b e ) dx取得最小值。
六、(12)确定常数A ，使求积公式2o f(x)dx A 1 f (0) A 2 f (1) A 3f(2)的代数精度尽可能高，并问是否是 Gauss 型公式。
七、(12分)设(x)导数连续，迭代格式(xQ —阶局部收敛到点x *。
对 于常数，构造新的迭代格式：y n 1 y n hk 2 k f(t n ,y n ) 1 1k 2f (t n -h, y n qhkj(7) 验证它是二阶方法；(8)确定此单步法的绝对稳定区域。
2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院： ________ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 (15分)给定方程 f (x) (x 1)e x 1 0(1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3) 说明所用的迭代格式是收敛的• 二、 (15分)设线性方程组为a 11X1312X 2 d,,a 11a22a 21 X 1 a ?2X 2 D 2,(1) 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛, 要么同时发散. (2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、 (10分)设A 为非奇异矩阵，方程组 Ax b 的系数矩阵A 有扰动 A ，受扰 动后的方程组为(A A)(x x) b ，若||A 1 || || A|| 1，试证：|| x|| II A 1 II II All||x|| 1 IIA 1 || || A||X k 1 X k(X k )问如何选取 ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛八、(14分)对于下面求解常微分方程初值冋题dtf (t ，y )的单步法: y(t o )y四、(15分)已知y f(x)的数据如下:求f (x)的Hermite 插值多项式H 3(x)，并给出截断误差R(x) f (x) H 3(x) 五、(10分)已知数据3设 f(x) ax b(x 1)2，求常数 a ,b ,使得 [f(xjmini 01 f (x)g(x)dx 在 H Span{ 1 , x , x 2}中求f(x) |x|的最佳平方逼近元素七、(10分)给定求积公式试确定A,B,C ,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、(10分)给定微分方程初值冋题dyy 2 0 x 1dx y(0) 2用一个二阶方法计算y(x)在0.1 , 0.2 处的近似值•取h 0.1计算结果保留 5位有效数字。
2008〜2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、(本题共3小题，每题8分，共24分)解答下面各题： 1)六、(15分)定义内积(f,g)2h2hf (x)dx Af ( h) Bf(0) Cf (h)用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间［0, 0.8］上的积分。
2)已知函数y=f(x)的观察值如下表所示，使用N e w t o n插值法求其插值多项式。
3)取初值为2,利用Newton迭代法求方程：f(x) x2 2 0在［0，2］中的近似解。
要求迭代两次。
(如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数)。
一、 (本题15分)设常数a^0,试求a的取值范围，使得用雅可比(Jacobi ) 迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。
a 1 3 x a1 a2 y a 13 2 a z a 2二、(本题16分)利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式：h h 1 2f (x)dx f (0) f (h) h2 f (0) f (h)0 2 12并导出其积分余项。