1、(莆田)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,DB平分∠ADC,BE⊥CD于点F,交AD的延长线于点E,CF=DF.(1)找出图中与△DEF全等的三角形;△DEF≌,△DEF≌;(2)请您从(1)中选择一对全等三角形加以证明.2、(朝阳)某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一颗树A;②沿河岸直走20步有一树C,继续前行20步到达D处;③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性.3、(东城区二模)已知:如图,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线.求证:AB=DC.4、(西宁)(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示).设计了如下方案:(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由;(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.5、(重庆模拟)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°点D是AB的中点,延长BC到点F,延长CB到点E,使CF=BE,连接DE、DC、DF.求证:DE=DF.6、已知:如图,点D在AB的延长线上,AB=DE,∠A=∠CBE=∠E.判断△ABC和△BDE是否全等?并证明你的结论.7、(龙岩)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边上,且∠1=∠B,AD=DE,求证:△ADB≌△DEC.8、(斗门区一模)(1)在图1中,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.∠ABC=∠ADC=90°,则能得如下两个结论:①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②;(2)在图2中,把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.9、(顺义区一模)已知:如图1,△MNQ中,MQ≠NQ.(1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图2,在四边形ABCD中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D.求证:CD=AB.10、(中线)如图1,以△ABC的边AB,AC为直角边作等腰△ABE和△ACD,M是BC的中点.(1)若∠BAC=90°,如图1.请你猜想线段DE,AM的数量关系,并证明你的结论;(2)若∠BAC≠90°.①如图2.请你猜想线段DE,AM的数量关系,并证明你的结论;②如图3.请你判断线段DE,AM的数量关系.11、如图,在△ABC中,AB=AC,D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点,且BE=CD,CF=BD.(1)试说明:△BDE与△CFD全等的理由;(2)若∠A=40°,试求∠EDF的度数.12、(大连)如图①、②、③中,点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点.(1)求图①中,∠APD的度数;(2)图②中,∠APD的度数为,图③中,∠APD的度数为;(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.13、(漳州)如图,AD∥BC,∠A=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交射线AD于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,求证:AB=FC.14、(内江)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.15、(泰安)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,B,C,E在同一条直线上,连接DC.(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:DC⊥BE.16、(成都)已知:如图,△ABC 中,∠ABC=45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE相交于点G .(1)求证:BF=AC ;(2)求证:CE= 21BF ; (3)CE 与BG 的大小关系如何?试证明你的结论.17、(2010•海沧区质检)在△ABC 中,∠ACB 为锐角,动点D (异于点B )在射线BC 上,连接AD ,以AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ,连接CF .(1)若AB=AC ,∠BAC=90°那么 ①如图一,当点D 在线段BC 上时,线段CF 与BD 之间的位置、大小关系是(直接写出结论)②如图二,当点D 在线段BC 的延长上时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由.(2)若AB≠AC ,∠BAC≠90°.点D 在线段BC 上,那么当∠ACB 等于多少度时?线段CF 与BD 之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并说明理由.(2008•南平)(1)如图1,图2,图3,在△ABC 中,分别以AB ,AC 为边,向△ABC 外作正三角形,正四边形,正五边形,BE ,CD 相交于点O .①如图1,求证:△ABE ≌△ADC ;②探究:如图1,∠BOC= 如图2,∠BOC= ;如图3,∠BOC= ;(2)如图4,已知:AB ,AD 是以AB 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边;AC ,AE 是以AC 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边,BE ,CD 的延长相交于点O .①猜想:如图4,∠BOC=360÷n (用含n 的式子表示);②根据图4证明你的猜想.18、(烟台)(1)如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米.19、如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.(1)当△DEF旋转至如图②位置,点B(E)、C、D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是.(2)当△DEF继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)在图③中,连接BO、AD,猜想BO与AD之间有怎样的位置关系?画出图形,写出结论,无需证明.20、如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC,交AC于F,求证:AE=CF.21、已知:△ABC中,AC⊥BC,CE⊥AB于E,AF平分∠CAB交CE于F,过F作FD∥BC交AB于D.求证:AC=AD.22、一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC于点O,点P、D分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:△BPO≌△PDE.(1)理清思路,完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.(2)特殊位置,证明结论若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:AP=CD.(3)(八下)知识迁移,探索新知若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)23、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.(1)示例:在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.答:AB与AP的数量关系和位置关系分别是(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答:BQ与AP的数量关系和位置关系分别是.(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.24、(平移)已知,如图1,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,点C在直线BD上且与F重合,AB=FD,BC=DE (1)请说明△ABC≌△FDE,并判断AC是否垂直FE?(2)若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时,且其余条件不变,则AC是否垂直FE?请说明为什么25、如图,在△ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,点E在BC上.过点D作DF∥BC,连接DB.求证:(1)△ABD≌△ACE;(2)DF=CE.26、东营)【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.(相似)【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:S△AEF的值.27、(2005•扬州)(本题有3小题,第(1)小题为必答题,满分5分;第(2)、(3)小题为选答题,其中,第(2)小题满分3分,第(3)小题满分6分,请从中任选1小题作答,如两题都答,以第(2)小题评分.)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.28、四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°求证:2AE=AB+AD.29、如图1,已知AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠NBA.(1)过点C作直线DE,分别交AM、BN于点D、E.求证:AB=AD+BE;(2)如图2,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?请你给出结论并加以证明.30、(牡丹江)在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想:(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.31、△ABC中,∠C=90°,射线AD交射线BC于D,过D作DE垂直射线BA于点E,点F在射线CA上,BD=DF.(1)如图1,若AD是∠BAC的角平分线,求证:BE+AF=AC;(2)如图2,若射线AD平分△ABC的外角,且点F在射线DE上,则线段BE、AF和AC的数量关系是32、在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在直线AB上,且DE=CE.(1)如图(1),若∠DEC=∠A=90°,BC=3,AD=2,求AB的长;(2)如图(2),若DE交BC于点F,∠DFC=∠AEC,猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系?并加以证明.33、如图所示:AM∥DN,AE、DE分别平分∠MAD和∠AND,并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.(1)如图,当点B、C分别位于点AD的同侧时,猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系:.(2)试证明你的猜想.(3)若点B、C分别位于点AD的两侧时,试写出AD、AB、CD之间的关系,并选择一个写出证明过程.34、(抚顺)已知:如图所示,直线MA∥NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.(1)如图1所示,当直线l与直线MA垂直时,猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系,请直接写出结论,不用证明;(2)如图2所示,当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗?如果存在,请直接写出它们之间的数量关系.35、已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点(不重合),且∠BEC=∠CFA=∠a(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面问题:①若∠BCA=90°,∠a=90°,请在图1中补全图形,并证明:BE=CF,EF=|BE-AF|;②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件,使①中的两个结论仍然成立;(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠a=∠BCA,请写出EF、BE、AF三条线段数量关系(不要求证明).36、问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;归纳证明:如图3,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为.37、(2009•沈阳)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证:AF+EF=DE;(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立;(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.38、(德州)问题背景:如图1:在四边形ABCD 中,AB=AD ,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E ,F 分别是BC ,CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ,EF ,FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD 到点G .使DG=BE .连结AG ,先证明△ABE ≌△ADG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得出结论,他的结论应是;探索延伸: 如图2,若在四边形ABCD 中,AB=AD ,∠B+∠D=180°.E ,F 分别是BC ,CD 上的点,且∠EAF=21∠BAD ,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ,F 处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.40、(周长比)如图1,在四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥CD ,AB=BC ,∠ABC=120°,∠MBN=60°,它的两边分别交AD 、DC 于点E 、F ,且AE≠CF .(1)求证:EF=AE+CF .(2)如图2,当∠MBN 的两边分别交AD 、DC 的延长线于点E 、F ,其余条件均不变时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请证明.如果不成立,线段AE 、CF ,EF 又有怎样的数量关系?并证明你的结论.41、已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ADC=120°.将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合,当三角尺的30°角(∠MBN)绕着点B旋转时,它的两边分别交边AD,DC所在直线于E,F.(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如题图1),请直接写出AE,CF,EF之间的数量关系.(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图2),(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并说明理由.(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图3和题图4),请分别直接写出线段AE,CF,EF之间的数量关系.42、已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F.(1)如图1,求证:△ACE≌△DCB.(2)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= ;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB= ;(3)如图3,若∠ACD=β,则∠AFB= (用含β的式子表示)并说明理由.43、(难题)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,点E从点D出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度,沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒.(1)试证明:AD∥BC;(2)在移动过程中,小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次?并分别求出此时移动时间和G点的移动距离.44、如图1,在平面直角坐标系中,点A(4,4),点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,S四边形OBAC=16.(1)∠COA的值为;(2)求∠CAB的度数;(3)如图2,点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点,且OH⊥MN的延长线于H,满足∠HON=∠NMO,请探究两条线段MN、OH之间的数量关系,并给出证明.。