2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：（I ）复习回顾引例：填空*)n aa a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)；_____=；（II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为nb a )(可看作mna a -⋅，所以n nn ba b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。

结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：当n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n 次方根有两个且互为相反数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

解：因为不论n 为奇数，还是偶数，都有0n =0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质：3 n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）n a①a a nn=）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？由所得结果，可有：（板书）②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导如下：注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）例题讲解注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

（III）课堂练习：求下列各式的值（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值b.书P82习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？第二课时分数指数幂教学目标：(一)教学知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.( 二)能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三)德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解.1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程：（Ⅰ）.复习回顾［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.整数指数幂运算性质(1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z ) 根式运算性质(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn,,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z )［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a ＞0，m ，n 是分数时也成立.(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a ＞0，m ,n 是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数a n 的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性.接下来，我们来看几个例子.例子：当a ＞0时［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.（Ⅱ）.讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质(板书)［师］说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则a P 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.4.例题讲解分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.例2 求值： 4332132)8116(,)41(,100,8---. (1)a r ·a s =a r +s (a ＞0,r ,s ∈Q ) (2)(a r )s =a r ·s (a ＞0,r ,s ∈Q ) (3)(a ·b )r =a r ·b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )解：422)2(8232332332====⨯827)32()32()8116(6422)2()41(1011010)10(1003)43(4436)3()2(3231)21(221221===========--⨯--⨯------⨯--a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)解：252122122a aa a a a ==⋅=⋅+4321232121311323323323)()(aa a a a a aaaa a a ==⋅===⋅=⋅+［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.Ⅲ.课堂练习课本P 51练习1.用根式的形式表示下列各式(a ＞０)32534351,,,--aaa a解：551a a =323232535353434311a a aa a a a a =====----2.用分数指数幂表示下列各式：解：(1)3232x x =(2)4343)()(b a b a +=+(3)3232)()(n m n m -=-(4) 214)()(n m n m -=-＝（ｍ－ｎ）２(5)2532526215656)()0(q p q p q p p q p ⋅==⋅=⋅ (6)252133m mm mm =⋅=-3.求下列各式的值：(1)2325 ；（2）3227；（3）23)4936( ；（4）23)425(-（5）423981⨯； （6）63125.132⨯⨯解：(1) 12555)5(25323223223====⨯(2) 933)3(27232332332====⨯（3）34321676)76()76(])76[()4936(33323223223=====⨯(4) 125852)25()25()25(])25[()425(3333)23(223223======--⨯-- (5)4324421232442132244233333])3[(3981⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯6614132414413243333)3()3()33(=⨯=⨯=⨯=(6)612313163)23()23(32125.132⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ 63232)333()222(2323326131213131161312131313161313121=⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=+++---要求：学生板演练习，做完后老师讲评.（Ⅳ）.课时小结［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.（Ⅴ）.课后作业（一）1.课本P 53练习题解：（1）1274131413143a aa a a a ==⋅=⋅+(2)87814121814121212121])([a aa a a a a a a a a ==⋅⋅=⋅⋅=++(3)3232)()(b a b a -=-（4）4343)()(b a b a +=+（5）3122322)(b a ab b a ab +=+（６）213342334233)()()(b a b a b a +=+=+解：（１）1111)11(221221221===⨯（2）87)78()78()78()4964(1)21(2212221===--⨯-- (3) 001.01010)10(100003)43(443443====--⨯--(4) 259)35()35(])35[()35()27125(2)32(3323323332=====--⨯---解：（1）315＝1.710（2）32321＝46.88（3）2173-＝0.1170（4）5467＝28.90（5）2138⋅＝2.881（6）438-＝0.08735板书设计分数指数幂1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质n m nm a a=（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N *，ｎ＞１） （1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ（2）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ（ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q ）（3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ（ａ＞0，ｂ＞0，ｒ∈Ｑ）2.规定 4.例题(1)nm nmaa1=-［例1］（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N *，ｎ＞１）， ［例2］(2)0的正分数指数幂等于0， 5.学生练习(3)0的负分数指数幂无意义.。