正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密联系的平 方和立方概念，在一些文明古国很早已有了．我国汉代曾有人 提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开来.15 世纪末， 法国数学家休凯引入了零指数的概念.
17 世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数， 1 1 1 他写道：“平方指数倒数的数列 ， ， ，„的指数是－2，立 1 4 9 1 1 1 方指数倒数的数列 ， ， ，„的指数是－3，两者逐项相乘， 1 8 27 1 1 1 就得到‘五次幂倒数’的数列 ， ， ，„的指数显然是(－ 1 32 243 1 1 1 2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列 ， ， ，„ 1 2 3 1 的指数是－ ，„”． 2
n
n
n
n
n
n
n
n
aa≥0 ＝|a|＝ －aa<0.
化简( a－1) ＋ 1－a ＋ 1－a3＝________.
【解析】 由题意，首先有 a－1≥0，即 a≥1. ( a－1)2＝1, 3 1－a3＝1－a.
2 2
2
2
3
1－a2＝|1－a|＝a－1，
∴( a－1) ＋ 1－a ＋ 1－a3 ＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
5＋2)＋1
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷ (12a－4b－2c) 1 －3－(－4) －2－(－2) －1 1 －1 a ＝－ a b c ＝－ ac ＝－ . 3 3 3c 1 1 1 3 (4)原式＝2a ÷ (4a b )×(3b ) 3 6 6 2 1 1 1 1 3 3 1 4 ＝ a － b－ · 3b ＝ a b . 2 3 6 6 2 2 6 3
n n 1．注意 an同( a)n 的区别．前者求解时，要分 n 为奇数 还是偶数，同时要注意实数 a 的正负，而后者( a)n＝a 是恒等 式，只要( a)n 有意义，其值恒等于 a. 2．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂， 这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化 求解的“利器”． n n
5－2)－1＋( 2－ 3)0；
(3)(a－2b－3)· (－4a－1b)÷ (12a－4b－2c)； (4)2 a÷ 4 a· b×3 b3. 3 6
【思路探究】 直接运用分数指数幂的运算性质求解．在 计算过程中，要先把小数化为分数，再把负指数化为正指数， 进行合理的运算，得出最简结果．
【自主解答】
1． 分数指数幂与根式可以相互转化， 其化简的依据是公式： m n m a ＝ a (a>0，m，n∈N*，且 n>1)． n 2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简． 3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式 的形式(式中字母都是正数)： 1 3 1 2 (1) x ；(2) 3；(3)x－ ；(4)x y－ . 5 2 3 x 3
m
含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质 化解．
1 1 1 1 7 【自主解答】 (1)原式＝a · a ＝a ＋ ＝a . 3 4 3 4 12 1 1 1 1 1 1 7 (2)原式＝a · a · a ＝a ＋ ＋ ＝a . 2 4 8 2 4 8 8 2 3 2 3 13 (3)原式＝a · a ＝a ＋ ＝a . 3 2 3 2 6 12 2 1 3 2 1 3 7 3 3 1 (4)原式＝(a ) · (ab ) ＝a · a b ＝a ＋ b ＝a b . 3 2 3 2 2 3 2 2 6 2
1 1 【思路点拨】 (1)(2)利用整体代入思想， 寻找“a ＋a－ ” 2 2 与 a＋a－1 及 a2＋a－2 之间的关系．(2)利用立方差公式求解即可．
1 1 1 12 －1 【规范解答】 (1)∵a2＋a－2＝3，∴a＋a ＝(a2＋a－2) －2＝7. (2)由 a＋a－1＝7 得 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47 4分 .8 分
3
【答案】 a－1
知识 2．正数的分数指数幂的意义
正数 的分 数指 数幂 正数的负 分数指数幂 正数的正 分数指数幂 m n m 规定：a n ＝ a (a＞0，m，n ∈N ，且 n＞1) m 1 规定：a－ n ＝ m(a＞0，m， an n∈N*，且 n＞1) 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的 负分数指数幂
1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． 3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的 形式表示．
化简下列各式(其中字母均表示正数)：
8 2 49 1 1 (2)原式＝ － ＋ 27 3 9 2
17 1 ＋2＝ . 9 9
资料卡片——指数的历史 n个 n 个相同的因数 a 相乘，即 a· a· a· a a，记作 an，叫做 a 的 n 次幂，这时 n 叫做指数，本来幂的指数总是正整数，后来随着 数的扩充，指数概念也不断发展．
3 3 1 1 － a2－a－2 a2－a－2a＋a 1＋1 －1 (3) 1 ＝ ＝ a ＋ a ＋1＝8.12 分 1 1 1 a －a－ a －a－ 2 2 2 2
本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称为 “知值求值”，解决此类问题的步骤是 (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； (2)化简：化简已知条件与所求代数式； (3)求值：把条件代入求值．
5
5
5
5
4
【答案】 －5
－5 5
4．化简下列各式： 6 (1)( a · a)÷ a；
2
3
27 2 49 2 2 0.5 (2) 8 － － 9 ＋0.008－ × . 3 25 3
【解】
2 1 1 2 1 1 2 1 1 (1)原式＝a · a ÷ a ＝a · a · a－ ＝a ＋ － ＝a. 3 2 6 3 2 6 3 2 6 000 2 4 7 2 2 × ＝ － ＋ 25× ＝－ 8 3 25 9 3 25
求值：
8
2 3
25
1 2
1 2
5
16 81

3 4
根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： 4 (1) a· a； (2) a a a； (3) a2· a3； (4)( a)2· ab3. 3 3 3
【思路探究】
m 熟练应用 a ＝a 求解，对于所求根式中 n n
(3)根式
根指数
被开方数
2．根式的性质(n＞1，且 n∈N*) (1)n 为奇数时， an＝ a . (2)n 为偶数时， (3) 0＝ 0 . (4)负数没有 偶次 方根． n n
a a≥0 an＝|a|＝ a＜0. －a
n
根式性质的应用
求下列各式的值： (1) －4 ；(2) －9 ；(3) 3－π4； (4) a－b2. 3
2．1.1 指数与指数幂的运算
1.理解 n 次方根及根式的概念．(重点) 2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重 课标解读 点、难点) 3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错 点) 4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
根式
【问题导思】 我们知道，若 x2＝9，则 x＝± 3，若 x3＝8，则 x＝2，试探 究，若 xn＝a(n>1，n∈N*)，则 x 应该怎么表示？
3 2
4
【自主解答】 (1) －43＝－4. (2) －92＝|－9|＝9. (3) 3－π4＝|3－π|＝π－3. (4) a－b2＝|a－b|
a－ba≥b ＝ b－aa<b.
3
4
1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根 式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．( a) 与 a 的意义不同. an对任意 a∈R 都有意义；当 n 为奇数时， a ＝a，当 n 为偶数时， a n
1 4 1 －0.75 70 3 (1)(0.064)－ －－8 ＋[(－2) ]－ ＋16 ＋|－0.01| ； 3 3 2
2 1 1 1 1 5 (2)(2a b )(－6a b )÷ (－3a b )． 3 2 2 3 6 6
1 －4 －3 2 1 【解】 (1)原式＝[(0.4) ]－ －1＋(－2) ＋2 ＋[(0.1) ] ＝ 3 2
3
1 1 143 (0.4) －1＋ ＋ ＋0.1＝ . 16 8 80
－1
2 1 1 1 1 5 (2)原式＝[2× (－6)÷ (－3)]a ＋ － b ＋ － 3 2 6 2 3 6 ＝4ab0＝4a.
整体代换思想在条件求值中的应用 1 1 (12 分)已知 a ＋a－ ＝3，求下列各式的值： 2 2 3 3 a －a － 2 2 －1 －2 2 (1)a＋a ；(2)a ＋a ；(3) . 1 1 a －a － 2 2
没有意义
*
规定
当a＞0时，
① ② ③ ④
5
a a
3 2
1 2
⑤
2 3
a a ;
10 10 5 2
⑥
a

2 3
1 1 2 3 a2 a 3
a a a ;
3
a a
12
12 3
a
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．