牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )
b
(b)af(t)dtF (b)F (a)
又因为定积分的值与积分变量字母无关,
b
dxex 2xsinx2exsinex
例:求 d
2x
cos tdt
dx ln x
积分上限函数的导数
连续积分上限函数 (x)
x
f(t)dt
满足:
a
a
(a) f(t)dt0 ,则有 a
x
lim (x)lim f(t)dt0
x a
x a a
x
sin tdt
例:求 lim x 0
0
x2
x
t(t 1)dt
a
a
xx
x f(t)dt
存在 [x,xx]可使 xxf(t)dtf()x x
( x ) lim ( x x ) ( x ) lim f() x f( x )
x 0 x
x 0 x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
d
例:求
xln2(t 1)dt
x2 costdt
sint
x2
sin(x2)sina
a
a
d
x2
costdt
[sin(x2)sina]
2xcosx2
dx a
积分上限函数的导数
定理: d (x)f(t)dtf[(x)](x);
dxa
例:求 d sin x e t d t
dx 0
例:求 d
x2 sin t dt
dx ห้องสมุดไป่ตู้ t
例:求 d
dx 0
d1
例:求 dx
cos tdt
x
思考:已知 x f(t)dtln(x21) , 求 f (1). 0
提示:
x
(x ) f(t)d t (x )f(x )
a
牛顿－莱布尼茨公式
定理 若 F(x) 是连续函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的
一个原函数,则
bf(x)d xF (x)bF (b )F (a).
例:求
lim
x1
1
( x 1)2
积分上限函数的导数
0
ln(t 1)dt
例:求 lim x x0
x2
cos x e t2 dt
思考: lim 1 x0
x2
2x
ln(1 t)dt
思考: lim 0 x0 1 cos x
定积分的物理意义 变速直线运动的路程
a
a
例:
2
xdx
x2
2
22
02
2
0
2 22
0
例:求 2 x 2 d x 1
例:求
2
sin
xdx
2
牛顿－莱布尼茨公式
bf(x)d xF (x)bF (b )F (a).
a
a
x
证:设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数, (x) f(t)dt a
(x)f(x), 即 Φ(x) 也是 f (x) 的原函数.
定理: d (x)f(t)dtf[(x)](x);
dxa
例:求 d
1
cos 2tdt
dx ex
例:求 d 1 ln(1t2)dt dx 2x
积分上限函数的导数 定理:
d d x (( x x ))f(t)d t f[(x )](x ) f[(x )](x ).
例: d x2sintdtsin(x2)(x2)sin(ex)(ex)
设: F(t)f(t),则
(x) xf(t)dtF(t)xF(x)F(a)
a
a
(x)[F(x)F(a)]F(x)f(x)
例: (x) xcostdtsintxsinxsin0sinx
0
0
(x)cosx
积分上限函数的导数 例:试用牛顿—莱布尼茨公式理解下列积分上限 函数.
(x) x t2dt 1
0
(x) x costdt
(x) sinxetdt 0
x2
(x) 0 costdt
积分上限函数的导数
定理: d (x)f(t)dtf[(x)](x);
dxa
例: dx 2c o std t c o s(x 2)(x 2) 2 x c o sx 2 d xa
也可用牛顿—莱布尼茨公式理解此定理
微积分基本公式优秀课件
积分上限函数
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数
x
x
( x ) 0 f (t)d t 0 td t y
x2
x
(x)
2
1
1
(1) 0 td t 2
O
2
(2 ) 0 td t 2
yt
(x) xt
原函数存在定理
定理 如果 f (x) 在 [a , b] 连续,则积分上限函数
b
af(x )d x af(t)d t F (b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式
bf(x)d xF (x)bF (b )F (a).
a
a
例:求
1
(
x 2ex)dx
0
例:求
e
2
( x )dx
1
x
1
2
例:求 (2 x )dx
0
x
例:求 4(cosxsec2 x)dx 0
牛顿－莱布尼茨公式
2x
t tan tdt
dx 0
积分上限函数的导数
定理: d (x)f(t)dtf[(x)](x);
dxa
设 F(t)f(t) ,则
(x) f (t)dt F(t)(x) F[(x)]F(a);
a
a
d
( x)
f (t)dt {F[(x)]F(a)}
dx a
f[(x)](x).
积分上限函数的导数