由于F(a)<F(b)，又由于对任意的bB-{0}，必有F(b)>0，因此
对线性函数F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS来说，必有αi>0（i=0,1,...,S）
F(a)=0写成 J
J
J
0 p j j 1 x1j j L S xSj j 0
j 1
j 1
j 1
9
15.2 资产定价基本定理
资产定价基本定理的证明思路（续3）
《
金
融 经
由于权重θ可以任意选择，完全可以将其设定为某种资产j的权重为
济 学 二 五
1，其它资产的权重全部为0 p0j ，1x所1j L以对SxS任j 0意一种资产j，都有
讲
》
配 套 课
变形为
p j
S s 1
s 0
xsj
件 其理中的的充分αs/性α0（（无s=套1,.利..,S=）>存全在是状正态数价，格就向是量所）要得寻证找的状态价格，定
济
s 1
s 1
s 1
学
二
五
讲
》
配
套 课
͠m（
ms =φs /πs ）：随机折现因子（stochastic
discount
factor，
件 SDF），状态价格密度（state price density），状态价格核
（state price kernel），定价核（pricing kernel）
φs=πs ms ：状态价格（state price），Arrow证券价格
qs @
s S
s1 s
ers
件
定义
S
S
S
p s xs er ers xs er qs xs er EQ[x%]
s 1
s 1
s 1
因为sqs=1，故可以将q1、...、qS视为各
个状态发生的概率（注意这个概率与真
实世界中各个状态发生的概率是两回
事），有
12
15.3 风险中性概率
三类套利
五 讲 》
第一类套利，pθ<0且xθ=0：在当前获得确定性的收益，而在未来却 不承担任何责任。
配 套 课
第二类套利，pθ=0且xθ>0：在当前不付出任何代价，而在未来却能 获得正的收益（尽管这种收益是不确定的，但这种不确定性只是获利
件
有多大而已，而不会带来任何损失的可能）
第三类套利，pθ<0且xθ>0：当前既能获得确定性的正收益，在未来 还能获得正的支付
件
这个向量的所有元素都非负，且至少有一个
元素严格为正，因而构成了前面定义的套利
8
15.2 资产定价基本定理
资产定价基本定理的证明思路（续2）
《 金 融
集合A与集合B-{0}（集合B除去0点）都是凸集，由超平面分 离定理可以知道，可以找到一个线性的函数
经 济 学 二
F(x)=α0x0+α1x1+...+αSxS，使得F(a)<F(b)，aA，bB-{0} 对任意元素aA，任给一个实数μ，必有μaA——如果一个
第15讲 无套利定价理论基础
令人费解的风险中性定价
《
金
融
经
济
学
二 五
为什么可以假设投资者是风险中性的？
讲
》 配 套
风险中性概率是什么？
课
件 风险中性世界与真实世界有什么关系？
资产价格在风险中性世界里满足什么样的规律？
为什么风险中性定价这么一种不直观、反直觉的定价方法是正 确的？
2
15.1 套利的严格定义
定理15.4（第二资产定价基本定理）：在一个完备的资产市场
》 配 套
中如果不存在套利机会，则存在唯一的状态价格向量
课
件 证明：
完备市场中，必然可以用市场中现有资产构造出各个状态的Arrow证 券
如果状态价格不唯一，必然会导致至少一个状态对应两个状态价格， 因而必然至少有一个Arrow证券有两个价格
讲
》 配
aA，bB，一定可以找到一个线性函数
套
课 件
F(x)=α1x1+α2x2+...+αSxS（其中的α1、α2、...... αS都是常数），使
得F(a)<F(b)
由于F是线性函数，所以对任意实数μ，必有F(μa)=μF(a)
6
15.2 资产定价基本定理
资产定价基本定理的证明思路
《
定义集合A
资产市场数学描述回顾
《
金
融 经 济
资产市场的（1期）支1 付L 矩J 阵与（0期）价格向量
学
二 五 讲 》 配 套 课
x@
x11 M
L O
x1S L
xM1J
1 M
xSJ S
p @ p1 L pJ
件
资产组合、资产组合的（1期）支付、资产组合的（0期）价格
1
θ
M
J
J
x1j
j
j1
集合A中的元素的自由度只有S个——因为根据已知的支付矩阵x与价
课 件
格向量p，给出了A中元素的S个分量后，第S+1个分量就能算出来—— 所以集合A构成了一个维数低于S+1的子空间（subspace）
定义集合B
B中的元素都是包含S+1个元素的向量，且向量的每个元素都非负
集的合第B一是象一限个（B锥@包（含bc0o坐,nb标e1,）L轴—,）b—S 在: b二i 维0,的i情况0,1下,L，, 集S 合B就是二维坐标系
xθ M
J j 1
xSj
j
J
pθ p j j j 1
3
15.1 套利的严格定义
套利的定义及分类
《
定义15.1（套利）：同时满足下列3个条件的资产组合θ叫做套利
金 融
（arbitrage）：（i）pθ≤0；（ii）xθ≥0；（iii）前两个不等式中至
经 济
少有一个是严格不等式。
学 二
三点说明
套利只依赖于资产的支付和价格，而与各个状态发生的概率无关。
任何套利机会都可以化成前面这三种套利的一种
无套利是均衡的一个必要条件——均衡中一定没有套利机会；但无套 利并非均衡的充分条件——即使资产市场中没有套利机会，也未必达 到了均衡（市场可能还没出清）
4
15.2 资产定价基本定理
状态价格向量与资产定价资本定理
如果已经存在着状态价格φ1，pj ...S，sφxsj S，则资产价格必定可以表示为 s 1
由xθ于>0所，有则的必φ有s都pθ是>0正。数所，以所不以存如在果套x利θ≥机0，会必，然定有理p的θ≥必0。要而性如得果证
10
15.2 资产定价基本定理
完备市场中状态价格的唯一性
《
金
融
经
济
学
二 五 讲
S
s
s 1
u(c1,s ) u(c0 )
xs
均衡市场（C-CAPM）的风险中性概率
qs
s
u(c1,s ) u(c0 )
S
s
s1
u(c1,s ) u(c0 )
su(c1,s )
S
su(c1,s )
s1
13
几个概念及其相互联系
《
金 融 经
S
S
S
p E[m%x%] sms xs s xs er qs xs er EQ[x%]
s 1
s 1
状态价格总是正的（Arrow证券的价格必然大于0）
定理15.3（资产定价基本定理）：资产市场中不存在套利机会，当且仅当 状态价格向量存在
5
15.2 资产定价基本定理
超平面分离定理
《
金
融 经 济
超平面分离定理：任给两个S维空间中相互分离的凸集合A和B
学
二 五
（二者的交集为空集），在这两个凸集合中分别任取一点，
因而必然会完备市场中，状态价格向量必定唯一 11
15.3 风险中性概率
风险中性概率的推导
《 金 融
无风险资产在现在（0期）的价格应该为
经 济 学 二 五 讲 》 配 套 课
无 息）风，险它利率应的该倒等e数于r s，所S1s即有e状-r（态连价续格复之利和计
金
融 经 济 学 二
A @ J
J
p j j ,
J
x1j j ,L ,
xSj j
: j
R，j
1,L
,
J
A中的元素j1都是包j含1 S+1个元j素1 的向量，每个向量对应一个资产组合
五 讲
每个向量的第1个元素是资产组合0期价值乘以-1，后S个元素是资产
》
组合在1期各个状态的支付
配 套
e-r=sφs =s πs ms =E[͠m] ：无风险资产价格
qs=erφs ：风险中性概率（risk neutral probability）
14
风险中性定价的直觉
《
金
融 经 济
关键问题：资产定价的核心明明是对风险的处理，为什么可以
学
二 五
假设投资者都是风险中性的来定价？
讲
》 配 套
汉堡和可乐套餐的定价问题
五 讲
投资组合在A中，那么把投资组合各项权重全部乘以μ得到
》 配
的新投资组合也必然在A中
套 课
对任意aA，必然有F(a)=0
件
反 F(a证0)≠法0，假设这一结论不成立，则必然存在某个a0A，使得
当 μ时（如果F(a0)<0，则让μ -），必有F(μa0)= μF(a0)
F(a)<F(b)（aA，bB-{0}）将无法成立，形成矛盾