4. 图示均质杆 AB 质量为 m，长为 l ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另 一端 B 放光滑的水平地板上，并与铅直墙面成 0 角。杆由静止状态倒下。杆在任意位置时 的角加速度为（
l J O P sin ， 2
3g sin ） 。 2l
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
第四题 图示系统，A 处光滑，绳 BD 铅垂，杆长为 L，质量为 m， 450 。求剪断 BD 绳 瞬时，均质杆 AB 的角加速度及地面约束力。 分析：剪断ＢＤ后，杆ＡＢ的自由度大于１，不能用动能法求加速度。因此本题采用刚体平 面运动微分方程求解。 解：1．研究对象：AB 杆， 2．受力分析：BD 绳剪断后，其受力如图所示，
6 cos g 2 (1 3cos ) l 将 AB 代入⑤式
AB
FAN mg
ml cos 6 cos g 2 2 (1 3cos ) l
3cos 2 [1 ]mg (1 3cos 2 )
当 450 时，
AB
6 2g 5 l
第三（5）题 对 B 点动量矩守恒 碰撞前：
LB J C mR R sin(

2
)
1 mR 2 mR 2 cos 2 1 ( cos )mR 2 2 1 3 / 2 2 / 2 / 碰撞后： LB J B ( mR mR ) mR 2 2 1 2 cos / 3
FAN mg
ml cos AB 2
⑤
将⑤式代入③式： 1 2 ml cos l ml AB (mg AB ) cos 12 2 2 1 l cos2 l AB g cos AB 6 2 (1 3cos 2 )l AB 6 g cos
学号:
姓名:
F dr 0 F dr ( F )dS （斯托克斯公式）
i rot ( F ) F x Fx j y Fy k y z Fy 0 z i x Fx 0 z j x 0 Fx y k Fy
P aCx 0 g P aCy T P g
①
D T A
E
aA
P C
②

l J C T cos30 ③ 2
运动学补充方程：
aCA
x

30
B
n aC a A aCA aCA
方向 大小 ？ ？ → ？ ⊥AB
l 2
CA
y
0
将上式向 y 轴投影：
l aCy 0 cos 300 0 2
12 g ） 。 7l
l 4
2
J D M D
3l 4
D C B
1 l J D J C md ml 2 m 12 4
2
A
1 1 7 ml 2 ml 2 ml 2 12 16 48 l M D mg 4 mgl 48 12 g M D / JD 2 4 7 ml 7l
二 选择题（15 分）
1 图示一质点无初速地从位于铅垂面内的圆的顶点 O 出发，在重力作用下沿通过 O 点的弦 OA，OB，OC 运动。设摩擦不计。对比质点走完任一条弦所需要的时间， （ D ） 。 A．沿 OA 弦用时越少；B. 沿 OB 弦用时越少；C. 沿 OC 弦用时最少；D. 沿所有的弦用时 相同。
P M mg sin v ( M mgR sin )
将 T 与 P 代入功率方程：
d (mR 2 2 ) ( M mgR sin ) dt
2mR 2 ( M mgR sin )

M mgR sin 2mR 2
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
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理论力学普遍定理部分测验 班级: 一 是非判断题（10 分）
1. 质点系动量的方向不一定是外力系主矢的方向。 （ √ ） 2. 从高度 h 处以相同的初速 v0 ，但以不同的角速度发射物体，当物体落到地面时，其动能 不同。 （×） 3. 如果质点系的质心速度为零，则质点系对任一固定点的动量矩都一样。 （ √ 4. 力 F ( xi yj ) / ( x2 y 2 ) 是有势力（保守力） 。 （√） 积分与路径无关的条件： ）
2.如图所示，质量分别为 m1 m ，m2 2m 的两个小球 M 1 ，M 2 用长为 l 的无重刚杆相连， 现将 M 1 置于光滑水平面上， 使 M 1M 2 连线与水平面成 60 角。 则当无初速释放 M 2 落地时，
0
M 1 球移动的水平距离为（
l ） 。 3
3. 均质杆 AB 质量为 m，D 处是光滑支座，B 端用细绳悬挂，水平位置平衡。当 B 端细绳 突然剪断，杆角加速度大小为（
aCy
x
运动学补充方程， 以 A 点为基点，分析 C 点加速度
n aC a A aCA aCA
方向 大小
？ ？
← ⊥AB l ？ AB 2
CA
0
l n 其中：运动初始时，AB 杆角速度为零，因此 aCA 2 0 。 2 将加速度矢量式向 y 轴投影 l ④ aCy AB cos 2 将④式代入②式，得：
T
1 1 1 J O 2 mv 2 J112 2 2 2
1 1 v 式中： J O mR 2 , J1 mR 2 , v R, 1 2 2 R
代入动能表达式，得：
T 1 1 1 1 1 mR 2 2 mR 2 2 mR 2 2 mR 2 2 2 2 2 2 2
3. 如图所示， 在铅垂面内，杆 OA 可绕 O 轴自由转动， 均质圆盘可绕其质心轴 A 自由转动。 如杆 OA 水平时系统为静止，则自由释放后圆盘作（ C ）运动。 A．平面运动； B．定轴转时； C．平动； D．圆周运动
第二（3）题图
第二（4）题图 ） 。
4. 杆 AB 在光滑的水平面上由竖直位置无初速的倒下，其质心的轨迹为（ D A. 圆； B.椭圆； C.抛物线； D. 竖直线
FAN
mg
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3．列方程求解： 动力学方程：
macx 0
macy mg FAN
1 2 l ml AB FAN cos 12 2
① ② ③
y
aCx
aA
AB
C
aCA
acx 、 acx 、 AB 、 FAN 四个未知力三个方程。
二 计算轴承 O 处的水平约束力 1 研究对象：轮 O 2 受力分析如图（c）所示。 3 列方程求解 由刚体定轴转动微分方程
J O M FT R
解之得： FT 1 ( M J O ) 1 (3M mgR sin ) R 4R 由动量定理 FOx FT cos 0
aCy
3 l 4
④
将④式代入②式，得：
T P 3Pl 4g
⑤Hale Waihona Puke 将⑤式代入③式，得Pl 2 3Pl 3l 3Pl 3Pl 2 (P ) 12 g 4g 4 4 16 g 13Pl 2 3Pl 48 g 4
将 代入⑤式：
T P
9 4 3Pl 12 3g P P P 13 13 4g 13l

12 3 g 13l
T
4 P 13
第五题 滚子 A 质量为 m1 ，沿倾角为 的斜面向下只滚不滑，如图所示。滚子借一跨过滑轮
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
B 的绳提升质量为 m2 的物体 C，同时滑轮 B 绕 O 轴转动。滚子 A 与滑轮 B 的质量相等， 半径相等，且都为均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
O
O
C
v
y
B A 第二（1）题图
第二（2）题图
2. 质量为 m 的小球沿铅垂方向运动，受介质阻力 FR kv ，在图示情况下，质点的运动微 分方程为（ A ） 。
A． my mg ky ；B． my mg ky ；C． my mg ky ；D． my mg ky
O
O1
A
v
m
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三 填空题（40 分）
1.机构某瞬时位置如图所示，各物体为均质且质量为 m ，设 OA 2r ，圆柱半径为 r ， OA 的角速度为 ，圆柱作纯滚动，则系统的动量为（ 5mr ） ，方向为（ ） ；动能 为（ ） ；对轴 O 的动量矩为（ ） 。
ac
3 g 5
FAN
2 mg 5
第四题* 匀质杆 AB 长为 l，重为 P，用两条相互平行的铅垂线吊起，突然将 BE 绳剪断； 求：剪断瞬时，绳 AD 内张力及 AB 杆的角加速度 。 解：1、研究对象：AB 杆；
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
2、受力分析； 3、求 、T：
华北理工大学理论力学普遍定理部分测验（含答案）
第五题* 在图示机构中，沿斜面纯滚动的圆柱体 O/ 和鼓轮 O 为均质物体，质量均为 m ，半 径均为 R。绳子不能伸缩，其质量略去不计。粗糙斜面的倾角为 ，不计滚阻力偶。如在鼓 轮上作用一常力偶 M 。求（1）鼓轮的角加速度； （2）轴承 O 的水平约束力。
2
JO
1 1 l ml 2 m ml 2 ， 12 3 2
P sin / ml 2
l 2
1 3
3g sin 2l
5. 一均质圆盘在光滑水平面内以角速度 绕它边缘上一点 A 在自身平面内转动。 若点 A 突 然被解脱，同时圆盘边缘上的另一点 B 突然被固定。已知 AB 弧所对的圆心角为 ，则圆 盘绕点 B 转动的角速度＝（ ） 。