八年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )A．轴对称性B．用字母表示数C．随机性D．数形结合2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A．（a+5）（a﹣5）=a2﹣25B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2﹣1=a2+2ab+b2﹣1D．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣53．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是( )A．10B．11C．12D．134．现有2cm，4cm，5cm，8cm，9cm长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有( )A．3种B．4种C．5种D．6种5．如图，∠A=50°，P是等腰∠ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为( )A．100°B．140°C．130°D．115°6．下列各式计算正确的是( )A．（a7）2=a9B．a7•a2=a14C．2a2+3a3=5a5D．（ab）3=a3b37．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A．20°B．30°C．50°D．55°8．如图，∠ABC的两条角平分线BD、CE交于O，且∠A=60°，则下列结论中不正确的是( )A．∠BOC=120°B．BC=BE+CD C．OD=OE D．OB=OC9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=( )A．90°B．100°C．130°D．180°10．如图，∠ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∠ADE是等边三角形，下列结论：①AD∠BC；②EF=FD；③BE=BD．其中正确的个数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知2x=4y+1，27y=3x﹣1，则x﹣y的值为__________．12．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使∠AOB∠∠DOC，你补充的条件是__________（填出一个即可）．13．仔细观察三角系数表，按规律写出（a+b）2展开式所缺的系数（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+__________a2b2+4ab2+b4．14．已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=__________．15．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是__________三角形．16．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=__________时，才能使∠ABC和∠APQ全等．三、解答题（共8小题，满分72分）17．分解因式（1）﹣x3﹣2x2﹣x（2）1﹣a2﹣4b2+4ab．18．先化简，再求值（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．（2）6x2﹣（2x﹣1）（3x﹣2）+（x+2）（x﹣2），其中x=3．19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）作出∠ABC关于y轴对称的∠A′B′C′，并写出点B′的坐标；（3）P是x轴上的动点，在图中找出使∠A′BP周长最短时的点P，直接写出点P的坐标．20．已知x+y=1，xy=﹣12，求x2+y2和x﹣y的值．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC∠BE．22．如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．23．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E是AB的中点，CE∠BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）∠DBC是等腰三角形吗？并说明理由．24．如图①，在Rt∠ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边∠BDE，设CD=n．（1）当n=1时，EA的延长线交BC的延长线于F，则AF=__________；（2）当0＜n＜1时，如图②，在BA上截取BH=AD，连接EH．①设∠CBD=x，用含x的式子表示∠ADE和∠ABE．②求证：∠AEH为等边三角形．-学年湖北省孝感市八校联考八年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )A．轴对称性B．用字母表示数C．随机性D．数形结合【考点】生活中的轴对称现象．【分析】根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．【解答】解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称的应用，根据图形得出一种数学美，有利于同学们的生活的喜爱以及数学与生活之间的联系．2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A．（a+5）（a﹣5）=a2﹣25B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2﹣1=a2+2ab+b2﹣1D．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、是整式的乘法，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．3．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是( )A．10B．11C．12D．13【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）=150°•n，解得n=12．故多边形是12边形．故选C．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．4．现有2cm，4cm，5cm，8cm，9cm长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【考点】三角形三边关系．【分析】先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：其中的任意三条组合有：2cm、4cm、5cm；2cm、4cm、9cm；2cm、4cm、8cm；2cm、5cm、9cm；2cm、5cm、8cm；2cm、9cm、8cm；4cm、5cm、9cm；4cm、5cm、8 cm；4cm、9cm、8cm；5cm、9cm、8cm十种情况．根据三角形的三边关系，其中的2cm、4cm、5cm；2cm、5cm、9cm；2cm、9cm、8cm；4cm、5cm、8 cm；4cm、9cm、8cm；5cm、9cm、8cm能构成三角形．故选D．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．如图，∠A=50°，P是等腰∠ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为( )A．100°B．140°C．130°D．115°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，然后求出∠PCB+∠PBC=∠ACB，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∠∠A=50°，∠ABC是等腰三角形，∠∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣50）=65°，∠∠PBC=∠PCA，∠∠PCB+∠PBC=∠PCB+∠PCA=∠ACB=65°，∠∠BPC=180°﹣（∠PCB+∠PBC）=180°﹣65°=115°．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并求出∠PCB+∠PBC是解题的关键．6．下列各式计算正确的是( )A．（a7）2=a9B．a7•a2=a14C．2a2+3a3=5a5D．（ab）3=a3b3【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、（a7）2=a14，本选项错误；B、a7•a2=a9，本选项错误；C、本选项不能合并，错误；D、（ab）3=a3b3，本选项正确，故选D【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A．20°B．30°C．50°D．55°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∠直尺的两边互相平行，∠2=50°，∠∠4=∠2=50°．∠∠1=30°，∠∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．如图，∠ABC的两条角平分线BD、CE交于O，且∠A=60°，则下列结论中不正确的是( )A．∠BOC=120°B．BC=BE+CD C．OD=OE D．OB=OC【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB=60°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BOC的度数；连接OA，作OF∠AB于点F，OG∠AC于点G，OH∠BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，从而可得∠BOF和∠BOH全等，∠COG和∠COH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120°，根据对顶角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角边角”证明∠EOF和∠DOG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C选项都正确，根据等角对等边的性质，只有∠ABC=∠ACB时才能得到OB=OC，所以D选项错误．【解答】解：∠∠A=60°，∠∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°，∠∠ABC的两条角平分线BD、CE交于O，∠∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°，故A选项正确；如图，连接OA，作OF∠AB于点F，OG∠AC于点G，OH∠BC于点H，∠∠ABC的两条角平分线BD、CE交于O，∠OF=OG=OH，利用“HL”可得∠BOF∠∠BOH，∠COG∠∠COH，∠BH=BF，CH=CG，在四边形AFOG中，∠FOG=360°﹣60°﹣90°×2=120°，∠DOG=∠FOG﹣∠DOF=120°﹣∠DOF，又∠∠EOD=∠BOC=120°，∠∠EOF=∠EOD﹣∠DOF=120°﹣∠DOF，∠∠EOF=∠DOG，在∠EOF和∠DOG中，，∠∠EOF∠∠DOG（ASA），∠EF=DG，OD=OE，故C选项正确；∠BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD﹣DG=BE+CD，即BC=BE+CD，故B选项正确；只有当∠ABC=∠ACB时，∠∠ABC的两条角平分线BD、CE交于O，∠∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠∠OBC=∠OCB，∠OB=OC，而本题无法得到∠ABC=∠ACB，所以，OB=OC不正确，故D选项错误．故选D．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，并根据∠A=60°推出，∠FOG=∠EOD=120°，从而证明得到∠EOF=∠DOG是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=( )A．90°B．100°C．130°D．180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为∠ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出∠ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在∠ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∠∠1+∠2=150°﹣∠3，∠∠3=50°，∠∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出∠ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．10．如图，∠ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∠ADE是等边三角形，下列结论：①AD∠BC；②EF=FD；③BE=BD．其中正确的个数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC，根据三线合一定理得出①正确；求出∠BAE∠∠CAD，推出BE=DC=BD，∠DAC=∠BAE=30°，求出∠BAE=∠BAD，根据三线合一得出EF=DF．【解答】解：∠∠ABC是等边三角形，∠AB=AC，∠AD是∠BAC的平分线，∠AD∠BC，BD=DC，∠∠ADC=90°，∠∠ABC和∠ADE是等边三角形，∠AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∠∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，∠∠BAE=∠DAC，在∠BAE和∠CAD中，，∠∠BAE∠∠CAD（SAS），∠∠DAC=∠BAE，BE=DC，∠BD=DC，∠BE=BD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠BAC=60°，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAC=30°，∠∠BAE=30°，∠∠ADE是等边三角形，∠∠DAE=60°，∠∠BAD=30°=∠BAE，∠AE=AD，∠EF=DF（三线合一），即①②③都正确，故选A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知2x=4y+1，27y=3x﹣1，则x﹣y的值为3．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案．【解答】解：∠2x=4y+1=22y+2，27y=33y=3x﹣1，∠，解得：则x﹣y=4﹣1=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，正确得出关于x，y的方程组是解题关键．12．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使∠AOB∠∠DOC，你补充的条件是AB=CD（答案不唯一）（填出一个即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加条件是AB=CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB=CD，理由是：∠在∠AOB和∠DOC中∠∠AOB∠∠DOC（AAS），故答案为：AB=CD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．13．仔细观察三角系数表，按规律写出（a+b）2展开式所缺的系数（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4．【考点】完全平方公式．【专题】规律型．【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．【解答】解：∠（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∠（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：6【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．14．已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=9000．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式前三项利用完全平方公式分解，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∠x=y+95，即x﹣y=95，∠原式=（x﹣y）2﹣25=9025﹣25=9000，故答案为：9000【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是等边三角形．【考点】轴对称的性质；等边三角形的判定．【分析】作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP1=OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，然后求出∠P1OP2=2∠AOB=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定．【解答】解：如图，连接OP，∠P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∠OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∠OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∠∠AOB=30°，∠∠P1OP2=60°，∠∠P1OP2是等边三角形．故答案为：等边．【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出∠P1OP2的两边相等且有一个角是60°是解题的关键，作出图形更形象直观．16．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=5cm或10cm时，才能使∠ABC和∠APQ全等．【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要分情况讨论：①Rt∠APQ∠Rt∠CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；②Rt∠QAP∠Rt∠BCA，此时AP=AC，P、C重合．【解答】解：∠PQ=AB，∠根据三角形全等的判定方法HL可知，①当P运动到AP=BC时，∠ABC∠∠QPA，即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，∠QAP∠∠BCA，即AP=AC=10cm．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、解答题（共8小题，满分72分）17．分解因式（1）﹣x3﹣2x2﹣x（2）1﹣a2﹣4b2+4ab．【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法．【分析】（1）先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；（2）先后面三项根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式即可求解；【解答】解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x=﹣x（x2+2x+1）=﹣x（x+1）2；（2）1﹣a2﹣4b2+4ab=1﹣（a2﹣4ab+4b2）=1﹣（a﹣2b）2=（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底．18．先化简，再求值（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．（2）6x2﹣（2x﹣1）（3x﹣2）+（x+2）（x﹣2），其中x=3．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2=﹣2ab，当a=，b=﹣1时，原式=﹣2××（﹣1）=2；（2）6x2﹣（2x﹣1）（3x﹣2）+（x+2）（x﹣2）=6x2﹣6x2+4x+3x﹣2+x2﹣4=x2+7x﹣6，当x=3时，原式=32+7×3﹣6=24．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）作出∠ABC关于y轴对称的∠A′B′C′，并写出点B′的坐标；（3）P是x轴上的动点，在图中找出使∠A′BP周长最短时的点P，直接写出点P的坐标．【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可；（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图可知，B′（2，1）；（3）如图所示，点P即为所求点，设直线A′B1的解析式为y=kx+b（k≠0），∠A′（4，5），B1（﹣2，﹣1），∠，解得，∠直线A′B1的解析式为y=x+1．∠当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，∠P（﹣1，0）．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．20．已知x+y=1，xy=﹣12，求x2+y2和x﹣y的值．【考点】完全平方公式；平方差公式．【分析】直接利用完全平方公式结合已知将原式变形求出答案．【解答】解：∠x+y=1，xy=﹣12，∠（x+y）2=1，则x2+y2+2xy=1，故x2+y2=1﹣（﹣24）=25，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=25﹣2×（﹣12）=49，故x﹣y=±7．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC∠BE．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】①可以找出∠BAE∠∠CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC∠BE．【解答】解：（1）∠∠ABC，∠DAE是等腰直角三角形，∠AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，在∠BAE和∠DAC中∠∠BAE∠∠CAD（SAS）．（2）由（1）得∠BAE∠∠CAD．∠∠DCA=∠B=45°．∠∠BCA=45°，∠∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，∠DC∠BE．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．22．如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP 与∠PRC的关系．【解答】解：（1）AR=AQ，理由如下：∠AB=AC，∠∠B=∠C．∠RP∠BC，∠∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∠∠BQP=∠PRC．∠∠BQP=∠AQR，∠∠PRC=∠AQR，∠AR=AQ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∠AB=AC，∠∠ABC=∠C．∠∠ABC=∠PBQ，∠∠PBQ=∠C，∠RP∠BC，∠∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∠∠BQP=∠PRC，∠AR=AQ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．23．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E是AB的中点，CE∠BD．（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）∠DBC是等腰三角形吗？并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）利用已知条件证明∠DAB∠∠EBC（ASA），根据全等三角形的对应边相等即可得到AD=BE；（2）分别证明AD=AE，CE=CE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；（3）∠DBC是等腰三角形，由∠DAB∠∠EBC，得到DB=EC，又有∠AEC∠∠ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．【解答】解：（1）∠∠ABC=90°，∠∠ABD+∠DBC=90°，∠CE∠BD，∠∠BCE+∠DBC=90°，∠∠ABD=∠BCE，∠AD∠BC，∠∠DAB=∠EBC，在∠DAB和∠EBC中，∠∠DAB∠∠EBC（ASA）∠AD=BE（2）∠E是AB的中点，即AE=BE，∠BE=AD，∠AE=AD，∠点A在ED的垂直平分线上（到角两边相等的点在角的平分线上），∠AB=BC，∠ABC=90°，∠∠BAC=∠BCA=45°，∠∠BAD=90°，∠∠BAC=∠DAC=45°，在∠EAC和∠DAC中，，∠∠EAC∠∠DAC（SAS）∠CE=CD，∠点C在ED的垂直平分线上∠AC是线段ED的垂直平分线．（3）∠DBC是等腰三角形∠∠DAB∠∠EBC，∠DB=EC∠∠AEC∠∠ADC，∠EC=DC，∠DB=DC，∠∠DBC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．24．如图①，在Rt∠ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边∠BDE，设CD=n．（1）当n=1时，EA的延长线交BC的延长线于F，则AF=2；（2）当0＜n＜1时，如图②，在BA上截取BH=AD，连接EH．①设∠CBD=x，用含x的式子表示∠ADE和∠ABE．②求证：∠AEH为等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）①根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠ABE；②然后根据边角边证明∠ADE与∠HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证明．【解答】（1）解：∠∠BDE是等边三角形，∠∠EDB=60°，∠∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∠FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∠∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，∠∠ACB=90°，∠∠ACF=180°﹣90°，∠AF=2AC=2×1=2；故答案为：2．（2）①证明：∠∠BDE是等边三角形，∠BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，在∠BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60°=∠CBD+90°=x+90°，∠∠ADE=30°+∠CBD，∠∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，∠∠HBE=30°+∠CBD，∠∠ADE=∠HBE，∠∠ABE=∠ADE=x+90°；②在∠ADE与∠HBE中，，∠∠ADE∠∠HBE（SAS），∠AE=HE，∠AED=∠HEB，∠∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∠∠AEH为等边三角形．【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解题的关键．。